关于一类四阶非线性微分方程的正解

张 芳

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009）

关于一类四阶非线性微分方程的正解

张 芳

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009）

通过使用不动点指数定理，在适当的条件下，给出一类四阶非线性微分方程的一个正解的存在性结果。

正解；锥；不动点指数

两端简单支撑的弯曲弹性梁的平衡状态可用四阶微分方程的两点边值问题来描述，关于该问题解的存在性已有很多作者研究过并获得一些存在性结果[1-3]。下面讨论非线性四阶边值问题的一个正解的存在性：

f∈C[I×R＋]，I=[0，1]，R＋=[0，＋∞）。同时引入以下符号：

1 预备知识

设G（t，s）是下面边值问题的格林函数：

引理1对于任意t，s∈[0，1]，G（t，s）有以下性质：

（1）G（t，s）＞0；

（2）G（t，s）≤G（s，s）；

（3）G（t，s）≥G（t，t）≥G（s，s）。

下面在C[0，1]定义一个锥：

为了方便，定义：

Kr＝{u∈K∶｜｜u｜｜＜r}，∂Kr＝{u∈K∶｜｜u｜｜=r}。

引理2 A∶K→K是全连续算子。

于是

引理3[4]设A∶K→K是全连续算子，如果μAu≠u对于每一个u∈∂Kr和0＜μ≤1，那么i（A，Kr，K）＝1。

引理4[4]设A∶K→K是全连续算子，并且满足以下两个条件：

（1）infu∈∂Kr｜｜Au｜｜＞0；

（2）μAu≠u，对于每一个u∈∂Kr和μ≥1。那么i（A，Kr，K）＝0。

2 存在结论

设r∈（0，r0），下面证明对于任意u∈∂Kr和0＜μ≤1有μAu≠u成立。事实上，如果存在u0∈∂Kr和0＜μ0≤1满足μ0Au0=u0，那么由A的定义，u0（t）满足方程

由（1）和（2）可得

然不成立！

因此，由引理3有

f（t，u）≥（π4＋ε）u，t∈[0，1]，u≥H。

由于

那么f（t，u）≥（π4＋ε）u-C，t∈[0，1]，u≥0。选取R＞R0＝max{H蛐σ，r0}，设u∈∂KR，则

f（t，u（t））≥（π4＋ε）u（t）≥（π4＋ε）σ｜｜u｜｜，

由引理1有

下面证明如果R充分大，那么μAu≠u对于∀u∈∂KR，μ≥1。事实上，如果存在u0∈∂KR，μ0≥1满足μ0Au0=u0，那么u0（t）满足方程（2），在（2）第一个方程同乘以sinπt并积分，得

由（4）和（6）及不动点指数的可加性，得

因此，A在KR＼K¯r有一个不动点满足方程（1）。

下面证明μAu≠u对于∀u∈∂KR，μ≥1。事实上，如果存在u0∈∂KR，μ0≥1满足μ0Au0=u0，那么u0（t）满足方程（2），由（2）和（7），得

f（t，u）≤（π4-ε）u，∀t∈[0，1]，u≥H。

如果存在u0∈K和0＜μ0≤1满足μ0Au0=u0，那么u0（t）满足方程（2），由（2）和（9），得

于是由（8）和（10）及不动点指数的可加性，得

因此，A在KR＼K¯r有一个不动点满足方程（1）。

[1]LiYX.Positive solutionsof fourth-orderboundary value problems with two parameters[J].Math AnalAppl，2003（281）：477-484.[2]BaiZB，Wang H Y.On Positivesolutions of some nonlinear fourth-orderbeam equation[J].Math AnalAppl，2002（270）：357-368.[3]Ma R，Wang H.On the existence of positive solutionso f fourth-order differentiale quations[J].Math AnalAppl.1995（59）：225-231.[4]郭大钧.非线性泛函分析[M].2版.济南：山东科学技术出版社，2001：297-300.

〔责任编辑 高 海〕

Positive Solutions for Fourth-order Nonlinear Ordinary Dfferential Systems

ZHANG Fang
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

In this paper，by using fixed point index theorem and under suitable conditions，we present the existence results of positive solutions to the fourth-order nonlinear ordinary differential systems.

positive solution；cone；fixed point index

O175.8

A

2012-11-07

张芳（1968-），女，山西阳高人，硕士，讲师，研究方向：拓扑学与非线性泛函分析。

1674－0874（2013）01－0013－03