张应力对石墨烯能量带隙的影响

黄丽，蒋练军，熊翠秀，张光富

(湖南城市学院 通信与电子工程学院，湖南 益阳，413000)

石墨烯是碳原子的二维蜂窝状晶格[1], 被确立为目前刚度最大的材料[2],它能够保持超过20%的可逆弹性变形[3]。很多研究者利用第一性原理[4-5]、紧束缚方法[6-9]、非平衡格林函数方法和密度泛函理论[10]等从理论上探讨了力学应变对石墨烯系统电子结构及光学性质的影响。Gui等[4]发现对称应变分布的石墨烯是零带隙半导体，其赝能隙在弹性限度内随应力强度的增大线性减小，不对称应变分布的石墨烯在费米能级会产生带隙。Pereira等[6]从理论上验证了石墨烯带隙的打开可以通过应力来调控，在超过23%的单轴应力作用下石墨烯会产生带隙。Pellegrino等[8]的研究表明：为了获得1个非零带隙，需要相当大的沿着一般方向的单轴应变模量。在此，本文作者在已有研究成果的基础上，在不考虑电子与电子之间相互作用的情况下，采用紧束缚近似和线性弹性理论解析计算石墨烯在张应力作用下的能量色散，探究沿锯齿方向和扶手椅方向的张应力作用下石墨烯带隙的打开情况，以获得带隙出现的临界值，并对张应力作用下石墨烯带隙的打开进行合理解释。

1 模型与理论分析

石墨烯蜂窝晶格的几何图形如图1所示。沿规定方向均匀拉伸(或压缩)石墨烯片，在固定的笛卡尔坐标系统中，选择x轴与晶格的扶手椅方向一致。在该坐标系统中，张力T可以表示为T=Tc osθex+Tsinθey。石墨烯是弹性各向同性的[11]，在晶格坐标系统中，应变张量ε可表示为[6]

其中：ν=0.165，为泊松比[12]；θ为施加应变方向相对于晶格坐标系统的x轴的夹角；ε为应变模量。

图1 石墨烯蜂窝晶格的几何图形Fig.1 Geometry of graphene honeycomb lattice

石墨烯是一种六角晶格，图1中阴影部分代表其元胞，每个元胞包含2个基矢量a1和a2，可表示为：

式中：a0=1.42×10-10m，为最临近2个碳原子之间的键长。

在紧束缚近似下，石墨烯蜂窝晶格的哈密顿量可写为[8]

1个给定晶格位置和它最临近的晶格位置之间的变形间距δi与松弛间距的关系为[6]

石墨烯的晶格结构对应力是一种弹性响应[8]，变形后的键长为

图1中，若θ分别取0和，即张应力分别沿扶手椅(A)和锯齿(Z)方向，此时，

在应力作用下，石墨烯第一布里渊区的高对称点将发生移动；同时，由于键长的改变将导致相临近的碳原子之间的跃迁积分ti(i=1, 2, 3)发生变化，对石墨烯蜂窝晶格采用紧束缚模型来获取其跃迁积分ti，表达式为[14]

其能带结构为[15]：

式中：正、负号分别对应导带和价带；kx和ky为二维波矢量。能量色散关系可体现出k空间狄拉克点的特性，在狄拉克点周围的能量色散是线性的[16]。能量色散作为应力的函数，对于2个不等价的狄拉克点±kD，只有当“三角不等式”

得到满足时[6,8,15]，能量色散才能保持无带隙。在狄拉克点周围，能量色散E(kx,ky)可以进行锥近似，其恒能量部分是椭圆型的。能量带隙的出现需要1个临界应变，其物理本质为：在应力作用下，狄拉克锥从位于第一布里渊区的K和K′点漂移，若2个非等价的狄拉克点向相反的方向移动，永不相遇，则不会产生带隙；若狄拉克点移动时彼此靠近并最终合并，则带隙出现，2个狄拉克点刚好合并时的应力即为阈值。由上述理论可以确定不满足方程(9)的参数范围并获得带隙产生的阈值。

2 结果与分析

理想石墨烯在不受到应力时，相邻碳原子之间的跃迁积分参量t1=t2=t3，石墨烯能量色散体现为各向同性的零带隙，且零模式位于第一布里渊区的6个角(即6个狄拉克点位置)[15]。下面给出张应力作用下石墨烯能量色散的解析计算结果。

图 2(a)和 2(b)所示为石墨烯在沿锯齿方向的张应力作用下能量色散的三维图线。由图2可以看出：当应力模量ε=24.5%时，能量带隙刚好打开；而当应力模量ε=30.0%时，出现了1个明显的带隙。因此，在张应力作用下，石墨烯带隙打开的应力模量临界值为24.5%。

图3所示为石墨烯在沿扶手椅方向的张应力作用下能量色散的三维图线。由图3可以看出：当应力模量ε=30%时，其能量带隙还未能打开。

图4和图5所示分别为石墨烯在锯齿方向和扶手椅方向的张应力作用下，沿kx=0的能量色散图线。从图4可见：在沿锯齿方向的应力作用下，当应力模量为20.0%时，2个不等价的狄拉克点相对应力为0时已相互靠近；当应力模量增大到约为 24.5%，2个狄拉克点合并为1个点；当应力模量进一步增大到30.0%时，1个明显的带隙已经打开。从图5可见：在沿扶手椅方向的应力作用下，当应力模量分别为 10.0%，20.0%和30.0%时，与应力模量为0时的情形相比，2个不等价的狄拉克点随应力模量的增大向着相反的方向移动，并逐渐远离，不论应力模量多大都不能打开带隙。因此，在张应力作用下，石墨烯带隙能否打开取决于处在第一布里渊区的2个非等价的狄拉克点能否合并。

图3 沿扶手椅方向的应力模量ε=30.0%作用下能量色散的三维图Fig.3 Three-dimensional plot of energy dispersion under tension (ε=30.0%) along armchair direction

图4 在沿锯齿方向的张应力模量作用下沿kx=0的能量色散图线Fig.4 Plot of energy dispersion of E(kx, ky) along kx=0 under tension along zigzag direction

图5 在沿扶手椅方向的张应力模量作用下沿kx=0的能量色散图线Fig.5 Plot of the energy dispersion, E(kx, ky), along kx=0 under tension along armchair direction

3 结论

(1) 在沿锯齿方向的张应力作用下，当应力增大到一定值时，石墨烯能量带隙可以打开，带隙出现的应力模量阈值ε≈24.5%。

(2) 在沿扶手椅方向的张应力作用下，不论应力模量多大，石墨烯能量带隙都不会打开。

(3) 石墨烯能量带隙能否打开取决于处在第一布里渊区的2个非等价的狄拉克点能否合并。

[1] Novoselov K S, Geim A K, Morozov S V, et al.Electric field effect in atomically thin carbin films[J]. Science, 2004,306(5696): 666-669.

[2] Lee C G, WEI Xiaoding, Kysar J W, et al. Measurement of the elastic properties and intrinsic strength of monolayer graphene[J].Science, 2008, 321(5887): 385-388.

[3] LIU Fang, MING Pingbing, LI Ju. Ab initio calculation of ideal strength and phonon instability of graphene under tension[J].Phys Rev B, 2007, 76(6): 064120.

[4] GUI Gui, LI Jin, ZHONG Jianxin. Band structure engineering of graphene by strain: first-principles calculations[J]. Phys Rev B,2008, 78(7): 075435.

[5] SUN Lian, LI Qunxiang, REN Hao, et al. Strain effect on electronic structures of graphene nanoribbons: A first-principles study[J]. J Chem Phys, 2008, 129(7): 074704.

[6] Pereira V M, Castro N A H, Peres N M R. A tight-binding approach to uniaxial strain in graphene[J]. Phys Rev B, 2009,80(4): 045401.

[7] 韦勇, 童国平. 拉伸作用对单层石墨片电子能隙的影响[J].物理学报, 2009, 58(3): 1931-1935.

WEI Yong, TONG Guoping. Effect of the tensile force on the electronic energy gap of graphene sheets[J]. Acta Phys Sin, 2009,58(3): 1931-1935.

[8] Pellegrino F M D, Angilella G G N, Pucci R. Strain effect on the optical conductivity of graphene[J]. Phys Rev B, 2010, 81(3):035411.

[9] LU Yang, GUO Jing. Band gap of strained graphene nanoribbons[J]. Nano Res, 2010, 3(3): 189-199.

[10] LIAO Wenhu, ZHOU Benhu, ZHOU Guanghui. Electronic structures for armchair-edge graphene nanoribbons under a small uniaxial strain[J]. Eur Phys J B, 2010, 76(3): 463-467.

[11] Landau L D, Lifshitz E M. Theory of elasticity[M]. 3rd ed. New York: Pergamon, 1986.

[12] Blakslee O L, Proctor D G, Seldin E J, et al. Elastic constants of compression: Annealed pyrolytic graphite[J]. J Appl Phys, 1970,41(8): 3373-3382.

[13] Reich S, Maultzsch J, Thomsen C, et al. Tight-binding description of graphene[J]. Phys Rev B, 2002, 66(3): 035412.

[14] Papaconstantopoulos D A, Mehl M J, Erwin S C, et al.Tight-binding approach to computational materials science[M].Turchi P, Gonis A, Colombo L, ed. Pittsburgh: Materials Research Society, 1998: 221.

[15] Hasegawa Y, Konno R, Nakano H, et al. Zero modes of tight-binding electrons on the honeycomb lattice[J]. Phys Rev B,2006, 74(3): 033413.

[16] Gusynin V P, Sharpov S G, Carbotte J P. AC conductivity of graphene: From tight-binding model to 2+1-dimensional quantum electrodynamics[J]. Int J Mod Phys B, 2008, 21(27):4611-4658.