非线性转子的反向全周碰摩响应

张华彪，陈予恕

(1.哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001;2.中国科学院 工程热物理研究所，北京 100190)

旋转机械在工程中有非常广泛的应用。为了提高旋转机械的性能，转静件之间的间隙被设计得越来越小，从而使得系统发生碰摩可能性的越来越大。转静碰摩可能导致叶片断裂、转子失稳，甚至造成严重的运行事故。

通常发生在转子工作转速范围内的碰摩有两种:全周碰摩和局部碰摩。相比于局部碰摩，全周碰摩发生时转子和静子出现连续的接触，具有较大的危害性。全周碰摩也可以分为两类:同步全周碰摩和反向全周碰摩。同步全周碰摩是由转子不平衡导致的受迫振动，发生时转子与静子的接触比较轻微，危险性相对较小。反向全周碰摩是一种自激振动，其振幅远远大于转静间隙，发生时可能导致旋转机械系统的严重破坏［1］。

国内外学者在转子的反向全周碰摩方面做了大量的研究工作。Black［2］研究了反向全周碰摩发生的临界条件。Crandall［3］对 Black的结果进行了验证，发现在转子半径和转静间隙之比很小的情况下理论结果和实验分析吻合的非常好。Lingener［4］指出转子在特定转速下，受到外界扰动后可能会出现反向全周碰摩。Zhang［5］给出了反向全周碰摩发生的的临界速度，当转子受到一个反向扰动，如果接触速度大于临界速度，转子将会失稳进入反向全周碰摩。Bently等［6-7］发现在转子半径与间隙之比较大时，没有外界扰动，同样会出现反向全周碰摩。他们通过实验发现了另一条通向反向全周碰摩的路径:无碰摩运动→同步全周碰摩→局部碰摩→反向全周碰摩。Yu、Muszynska等［8-9］通过实验和解析讨论了不平衡量、摩擦系数、阻尼等等系统参数对同步全周碰摩运动向反向全周碰摩转化的影响。Jiang等［10-11］采用解析方法研究了转子反向全周碰摩的存在条件和转子在不平衡激励下出现反向全周碰摩的临界转速。Jiang等［12］研究了一个转子-静子耦合系统反向全周碰摩的响应特性，求得了反向全周碰摩的频率和存在边界。Dai等［13］研究了作大幅度进动的转子与限制器碰摩的反向全周碰摩。Wilkes等［14］考虑了转子和机匣碰摩的非线性接触力，通过实验和仿真研究了反向全周碰摩的多重模态振动。

现有的关于反向全周碰摩的研究工作大都针对线性刚度转子，而在现代转子的设计中，越来越多的非线性因素被考虑进去，如滚动轴承的赫兹接触力，滑动轴承和挤压油膜阻尼器的油膜力等等。同时在反向全周碰摩发生时，由于转子转轴的变形很大，也会表现出一定的非线性，因此研究非线性转子系统的反向全周碰摩响应更具有工程价值。

本文对一个具有非线性刚度的单盘转子的反向全周碰摩进行研究，通过解析和数值计算讨论了系统参数对非线性转子反向全周碰摩响应和存在性的影响，以期对转子的设计提供一定的理论支持。

1 非线性转子系统碰摩反向全周碰摩的运动方程

图1 非线性刚度的单盘转子模型Fig.1 The single disc rotor with nonlinear stiffness

其中:c是系统阻尼，k和α分别是转子的线性和非线性刚度系数，e是转子的偏心量，碰摩力由线性接触力和库伦摩擦力组合而成的(见图2)，有:

图2 碰摩力模型Fig.2 The model of rubbing forces

其中:vr表示碰摩点处的相对速度，有vr=ωrdisc+ωwr，ω是转子的转动角速度，ωw是转子的涡动角速度，rdisc是转子圆盘的半径，r0表示转静间隙，μ是库伦摩擦系数，kb为接触刚度。对方程进行无量纲化，取X=x/r0，Y=y/r0和新的时间尺度τ=ω0t，可得:

她看了那双眼睛一下。她几乎没有一点表情。她甚至可能和原来没有我的出现时一样地照常做着她应该去做的事。她让我感觉到了我的多余。在这个世界上，我已经成了一个地地道道的多余者了。

其中:

无量纲形式的碰摩力可写作:

其中:

2 非线性转子系统碰摩反向全周碰摩的数值仿真

对方程(3)进行数值仿真，图3～5分别给出了在β=0.05和β=0时系统升降速的幅频曲线和三维谱图。图6给出了Bently等［6-7］的实验结果。显然，相比于线性的转子系统，本文所研究的非线性转子系统的结果从定性特征上与实验结果更加接近，这说明在转子反向全周碰摩的研究中考虑非线性因素的影响是有必要的。

图7分别给出了非线性转子系统和其对应线性转子系统反向全周碰摩的轴心轨迹、频谱和碰摩点处相对速度随时间的变化，可以看到非线性转子系统和其对应线性转子系统反向全周碰摩从运动形式上看是非常相似的，运动的轴心轨迹都是圆，进动方向与转子转动方向反向，但是涡动时接触点的相对速度随时间的变化有着明显的不同，线性系统在接触点的相对速度近似于零，而非线性系统在接触点的相对速度是恒大于零的。文献［11］对线性转子的反向全周碰摩做了详细的描述，指出线性转子的反向全周碰摩是由于接触点相对速度方向的改变导致摩擦力方向的改变而产生的。转子受到大的扰动发生碰摩，开始时振幅较小有Vr=RdiscΩ+RΩw＞0，摩擦力方向和转子转动方向相反。在干摩擦的作用下，转子开始做反进动，同时振幅将不断增大。振幅增大到一定程度，当Vr=RdiscΩ+RΩw＜0时，摩擦力的方向发生改变，和转子的转动方向相同。此时转子的反进动无法通过干摩擦效应获取能量，在阻尼的作用下振幅将会减小。当干摩擦输入的能量和阻尼消耗的能量达到一个平衡时，系统就出现了稳定的反向全周碰摩运动。对于线性转子，如果假设Rdisc→∞(即摩擦力方向恒与转子转动方向相反)，系统的振幅将趋于无穷。对于本文所研究的非线性刚度的转子，显然图7(b)中所示的反向全周碰摩过程中摩擦力的方向并没有发生改变。因此虽然表现出的运动形式相似，但图7所示的非线性系统和线性系统反向全周碰摩的本质是有区别的。

图3 系统在升降速时的三维瀑布图(ζ=0.008，g=0.2，μ =0.1，E=0.05，Rdise=20，β =0.05)Fig.3 Three-dimensional spectrum at the rotor’s run-up and run-down

图4 系统在升降速时的三维瀑布图(ζ=0.008，g=0.2，μ =0.1，E=0.05，Rdise=20，β =0)Fig.4 Three-dimensional spectrum at the rotor’s run-up and run-down

图 5 系统在升降速时的幅频曲线(ζ=0.008，g=0.2，μ =0.1，E=0.05，Rdise=20)Fig.5 The frequency-amplitude curve at the rotor’s run-up and run-down

图6 Bently等［6-7］的实验结果Fig.6 Test result of Bently et al［6-7］

图 7 转子系统碰摩反向全周碰摩响应的数值仿真(ζ=0.008，g=0.2，μ =0.1，E=0，Rdise=20，Ω =1.3，初值(5，0，0，0))Fig.7 Numerical simulation of reverse full annular rub motion

3 反向全周碰摩的解析解

文献［8］指出外激励不是转子系统反向全周碰摩的必要条件，图7中数值计算的结果也印证了这一点，因此为了简单起见，忽略方程(3)中的外激励项。设系统反向全周碰摩的解为:

考虑到反向全周碰摩响应的特征，反向全周碰摩解应满足约束条件A≥1，Ωw＜0。

考虑到反向全周碰摩的振幅很大，系统的非线性项不能认为是小项，根据基于同伦分析的平均法［16］，有:

令A'=0，θ'=0，可得系统定常解的表达式为:

其中式(11)可写为:

显然可能存在的反向全周碰摩的频率可以看做是接触情况下碰摩系统的等效线性频率。由式(10)、(11)可以看到当Vr＜0时，系统不存在满足约束条件的解;当Vr＞0时，系统存在两组(图中曲线d-e和d-b所示)满足约束条件的解。为了确定哪一组解是真实存在的，有必要对解的稳定性进行判断。

图8 摩擦系数对反向全周碰摩振幅的影响Fig.8 Influence of friction coefficient on the amplitude of reverse full annular rub

4 反向全周碰摩解的稳定性

为了判断反向全周碰摩解的稳定性，对式(7)做小扰动有:

其中:

这样，系统周期解的稳定性问题转化为周期系数系统(14)的零解稳定性问题。周期系数系统的稳定性通常采用Floquet理论进行判断，但是计算Floquet乘子矩阵的解析表达式是很困难的。下面将采用一种近似方法［16］求取Floquet乘子矩阵的表达式。

Floquet乘子Φ的近似表达式如下:

根据Floquet理论，式(14)的零解稳定当且仅当其所对应的Floquet乘子矩阵Φ的所有特征值的模小于1。通过稳定性计算可知图8中d-e段曲线是不稳定的，d-b段曲线是稳定的。d-b段曲线表示的就是图7(b)所示的反向全周碰摩运动，这种运动从本质上说是干摩擦和转子非线性刚度共同作用的结果。与转子转动方向相反的摩擦力将导致转子反进动振幅的增大，同时非线性刚度使得转子受到的回复力也迅速的增大，回复力的增大反过来限制了振幅的增长，当两方面的作用达到平衡时，系统就出现了图7(b)所示的反向全周碰摩运动。

同时我们对Vr=0附近系统的响应很感兴趣。考虑到系统的反向全周碰摩响应轨迹为圆，可以假定系统的振幅和频率恒满足式(12)，将式(12)代入到方程(8)中有:

图8中系统的定常解和Vr=0将参数平面分成三个区域，下面分别讨论各区域内A'的符号来确定Vr=0附近系统的响应。对于区域Ⅰ，有Vr＜0，因此有:

对于区域Ⅱ，有Vr＞0，同时有:

对于区域Ⅲ，有Vr＞0，同时

在直线b-c上，有Vr=0，因此:

定义直线b-c所对应的振幅大小为Ac，当扰动使得系统的响应接近b-c直线时，如果响应大于等于Ac，由于A'＜0，振幅将会减小;响应小于Ac，由于A'＞0，振幅将会增大。这时系统的振幅在Ac附近不断的振荡(如图9所示)，由于振荡的幅度很小，从宏观上表现出类似于周期运动的运动形式，但由于此处不存在稳定的周期解，系统的运动形式不可能是周期运动，这就是通常所说的摩擦力改变导致的反向全周碰摩。

图9 反向涡动响应的振幅在Ac附近不断的震荡Fig.9 The amplitude of dry friction whirl nearby Ac

5 系统参数对响应的影响

图10～13给出了转静摩擦系数、接触刚度、系统阻尼和转速对反向全周碰摩振幅和频率的影响，其中实线表示非线性刚度导致的稳定的反向全周碰摩解;虚线表示不稳定解;点划线表示摩擦力方向改变导致的反向全周碰摩，三角形表示数值计算的结果。可以看到摩擦力方向改变导致的反向全周碰摩的振幅和频率随转速的增大而增大，与转静接触刚度、摩擦系数、系统阻尼无关。而非线性刚度引起的反向全周碰摩随碰摩接触刚度、摩擦系数的增大而增大，随着系统阻尼的增大而减小，与系统转速的变化无关。因此在工程设计中，增大系统阻尼，减小碰摩接触刚度和转静之间的摩擦系数都可以减小反向全周碰摩的振幅。数值计算的结果很好地验证了理论分析的正确性。

图10 转静摩擦系数对反向全周碰摩振幅和频率的影响Fig.10 Influence of friction coefficient on the amplitude and frequency of reverse annular rub

图11 转静接触刚度对反向全周碰摩振幅和频率的影响Fig.11 Influence of contact stiffiness on the amplitude and frequency of reverse annular rub

图12 系统阻尼对反向全周碰摩振幅和频率的影响Fig.12 Influence of damping on the amplitude and frequency of reverse annular rub

图13 转速对反向全周碰摩振幅和频率的影响Fig.13 Influence of rotation speed on the amplitude and frequency of reverse annular rub

图14 系统参数对反向全周碰摩存在性的影响Fig.14 Influence of system parameters on the existence of reverse full annular rub

同时可以看到对应某些系统参数，不存在稳定的反向全周碰摩响应。在实际转子系统的设计中，如果将系统参数选择在这些区域，就可以避免反向全周碰摩的出现。图14给出了系统参数对反向全周碰摩存在性的影响，其中阴影部分表示反向全周碰摩不存在的区域。

6 结论

本文通过解析和数值方法对非线性转子系统碰摩的反向全周碰摩响应进行研究，取得了如下成果:

(1)通过数值计算结果和前人实验结果的比较，认为在反向全周碰摩的研究中，考虑转子的非线性的影响是有必要的。

(2)发现非线性转子和线性转子的反向全周碰摩是不同的。非线性转子系统既存在摩擦力方向改变引起的反向全周碰摩，同时转子的非线性和干摩擦的共同作用也能导致系统的反向全周碰摩响应，这种反向全周碰摩是稳定的周期运动。

(3)讨论了系统参数对非线性转子系统反向全周碰摩响应和存在性的影响，为转子系统的设计提供了一定的理论支持。

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