基于Matlab蓝莓树枝轴向有阻尼自由振动仿真研究

李志鹏，赵德金，郭艳玲

（1.东北林业大学交通学院，哈尔滨150040;2.东北林业大学机电工程学院，哈尔滨 150040）

天然抗氧化水果蓝莓在食品、药品和化工等方面具有巨大的市场潜力，种植蓝莓的经济效益十分显著，扩大种植面积是一种必然趋势。由于蓝莓成熟期短，在我国完全依靠人工采摘，采摘耗资大、效率低，常因无法及时收获造成很大的损失［1－6］。为实现蓝莓采摘的机械化，需要研究一种高效智能的蓝莓采摘机械并解决关键技术问题。要实现高效、安全地采摘，振动力大小和方向的确定是很关键的，需要现场实测，据此建立蓝莓植株三维生长模型，还要在此基础上分析果枝的受力模型，建立蓝莓果树的振动模型，从而为实际采摘机的设计奠定基础［7－11］。

1 蓝莓树枝受力分析

由于蓝莓树枝的生长是多角度、空间分布的，当采摘力作用于蓝莓侧枝时，会在不同生长方向上的蓝莓侧枝产生不同角度的采摘力，作用于每一个蓝莓侧枝上的采摘力均会分解得到轴向力和径向力。如图1所示，当手指拍打蓝莓侧枝时，以蓝莓侧枝轴向为方向，建立空间直角坐标系，同时对力进行正交分解，可得作用在蓝莓侧枝上的力Fx、Fy、Fz。其中，垂直于蓝莓侧枝上的力Fy、Fz将引起蓝莓侧枝的径向振动，平行于蓝莓侧枝的Fx力将引起蓝莓侧枝的轴向振动。

图1 蓝莓侧枝受力分析图Fig.1 Mechanical analysis of blueberry branch

此外，由于蓝莓侧枝的空间分布及采摘装置末端执行机构的设置，不可能使所有蓝莓侧枝均受到采摘力的直接作用。没有受到采摘力直接作用的蓝莓侧枝，会在其他蓝莓树枝所产生的轴向受迫振动和径向受迫振动的影响下，在同一植株树枝之间的相互连接约束关系条件下，相应地产生轴向自由振动和轴向受迫振动。根据蓝莓侧枝上是否作用有采摘力以及采摘力的分解分类情况，将长有蓝莓果实的树枝所产生的振动分为:轴向自由振动、轴向受迫振动、径向自由振动和径向受迫振动，分类情况见表1。

表1 蓝莓树枝振动分类Tab.1 Forces and vibration classifications for blueberry branch

表2 蓝莓树枝具体参数值Tab.2 Blueberry branch specific parameter value

表3 蓝莓侧枝激振力——位移表Tab.3 Excitation force of blueberry lateral branch-displacements

为了定量求解蓝莓树枝振动响应输出，需要实测一组蓝莓树枝具体参数，并施加载荷测定变形量，表2是对品种为北陆的蓝莓侧枝实测得到的具体数据，表3是对蓝莓侧枝施加不同方向的作用力后产生的位移。

根据图1所建立起来的力学模型，再依据表2和表3所提供的数据，可求解蓝莓侧枝在表1所归纳出振动响应输出函数。

2 蓝莓树枝轴向有阻尼自由振动实验仿真

前面在建模时将蓝莓侧枝简化为密度均匀、质量均匀变化、无阻尼连续弹性体，而在实际的振动过程中是有阻尼的，由于阻尼的存在使得蓝莓侧枝无阻尼自由振动响应发生改变，经推导得蓝莓侧枝轴向自由振动有阻尼振动响应公式为:

式中:a为蓝莓侧枝有阻尼振动振型参数，a=Z为蓝莓侧枝纵截面的枝干延长线交点作为Z轴原点，Z轴方向设置为向下，树枝上的坐标为z;E为蓝莓侧枝弹性模量;ωn为蓝莓侧枝轴向自由振动固有频率;ωdn为蓝莓侧枝有阻尼自由频率。

为了分析蓝莓侧枝自由振动过程中惯性力的大小，下面根据蓝莓侧枝轴向有阻尼自由振动公式推导蓝莓侧枝轴向自由振动惯性力公式:

式中:Fd为蓝莓侧枝轴向有阻尼自由振动惯性力;m0为蓝莓果实质量;φr为偏移相位角a为蓝莓侧枝有阻尼振动振型参数。

为了能够观察到蓝莓树枝在做轴向有阻尼自由振动过程中振动曲线和惯性力的动态变化，采用MATLAB软件对蓝莓侧枝轴向有阻尼自由振动响应公式（1）和蓝莓侧枝轴向有阻尼自由振动惯性力公式（2）进行动态仿真实验，并对仿真结果进行分析。具体如下:

假定在t=0时刻，蓝莓侧枝根部z2处，在10 N的初始外力作用下产生一定的静变形b，由此得到:初始位移x0=b;初始速度x′0=0;由表3中实测数据得到:当轴向外力为10 N时，蓝莓侧枝的轴向静变形量为0.013 m。由此得到:x0=b=0.013m。

由表2得到:蓝莓侧枝面积衰减率β=0.23×10－3m2/m，蓝莓侧枝弹性模量E=506 MPa，蓝莓侧枝末端集中质量m=248 g，将以上数据代入蓝莓侧枝轴向自由振动固有频率公式取n=1，n=2 得:ωn1=960rad－1，ωn2=1 350rad－1。

由表2得:ξ=1.3%，将ωn1=960rad－1，ωn2=1 350rad－1，ξ=1.3%代入有阻尼自由振动公式

将x0=0.013m，x′0=0，ξ=1.3%，ωn1=960rad－1，ωn2=1 350rad－1代入初始相位角公式

由表2得:蓝莓树枝根部坐标z2=0.66m，蓝莓树枝末梢坐标z2=0.66m，蓝莓树枝密度ρ0=0.78g/mm3，蓝莓树枝弹性模量E=506MPa，将g（z2）=0.013m及以上数据代入蓝莓侧枝轴向有阻尼振动振型参数公式 （1），得:

图2 蓝莓侧枝有阻尼自由振动曲线Fig.2 Free vibration curve of blueberry lateral branch

图3 蓝莓侧枝轴向有阻尼自由振动惯性力动态变化曲线Fig.3 Free vibration curve of inertial force from blueberry lateral branch

为提高计算精度，取n=10，计算得:a=0.008 3。

将振型参数a=0.008 3，蓝莓树枝密度ρ0=0.78g/mm3，蓝莓树枝弹性模量E=506MPa，ξ=1.3%，ωn1=960rad－1，ωn2=1 350rad－1，ωd1=959rad－1，ωd2=1 349rad－1，φd1= φd2=1.55，φr1=φr2=0.026代入公式（1）得到，表2所测蓝莓侧枝在t=0时刻、10 N初始外力作用于蓝莓侧枝根部产生初始条件为:x=0=0.013m，x′0=0的实测蓝莓侧枝轴向有阻尼自由振动响应公式（1）由表2得蓝莓果实质量为:m0=3.91g，结合公式（1），由公式（2）得到表2所测蓝莓侧枝在t=0时刻、10 N初始外力作用于蓝莓侧枝根部产生初始条件为x0=0.013，x′0=0的实测蓝莓侧枝轴向有阻尼自由振动惯性力公式:

3 结束语

为了能够定性分析蓝莓受迫振动的响应过程，采用MATLAB软件，仿真分析蓝莓侧枝轴向有阻尼自由振动输出动态响应曲线，如图2所示。从图中可以看出蓝莓侧枝在不同时刻、不同位置的振动幅值大小和所产生的惯性力大小。由于阻尼比的存在，阻碍系统的振动，随着振动时间的延长，蓝莓侧枝的振幅和所产生的惯性力越来越小趋于0，最后停止振动。

蓝莓侧枝轴向有阻尼自由振动惯性力动态变化曲线如图3所示，可以看出在振动初期瞬态所产生的惯性力很小，所以轴向有阻尼自由振动很难实现对蓝莓果实的采摘。为后续的研究奠定了基础。

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