循环往复加载的地下结构Pushover分析方法及其在地震损伤分析中的应用①

刘晶波，王文晖，赵冬冬，张小波

（清华大学，北京 100084）

0 引言

Pushover分析方法也称为静力弹塑性分析方法，是一种进行结构地震反应分析的简化方法，在一定条件下可以较为准确、简便地评估结构的抗震性能，在地上建筑结构抗震分析与设计中得到了广泛应用［1－5］。在地下结构领域，文献［6－7］在借鉴地上结构Pushover分析方法思想的基础上，结合地下结构在地震作用下存在土—结构相互作用的特点，提出了一种适用于地铁等地下结构抗震分析的Pushover分析方法。

Pushover分析方法通过对分析模型施加一定分布的水平单调递增荷载，将结构推至目标位移或者使结构成为机构，来分析结构的薄弱部位及其非线性行为［1－2］。在传统的 Pushover分析过程中，水平侧向荷载一般是单方向单调递增的。但在地震作用下，结构受到的是往复振动作用，单方向的加载方式无法准确地模拟地震作用下结构和构件的真实受力情况［2，8－9］。特别地，对于非对称结构，水平侧向荷载的输入方向将对分析结果产生较大影响［6］。通过循环往复加载的方式对结构进行Pushover分析，一方面可以模拟地震荷载的往复振动作用，另一方面对于非对称结构也可以依次在正、反两个方向进行水平荷载的输入。在地震过程中，结构将产生一定的变形，引起能量消耗、造成结构损伤。通过损伤分析进行结构抗震性能评估的方法也受到重视［10］。本文采用循环往复加载的方式对地下结构进行Pushover分析，将一次循环加载过程近似看作为一次地震作用的过程，通过结构遭受地震前后的刚度之比来建立损伤模型，初步给出判断地下结构损伤程度的方法。同时，以北京市地铁5号线崇文门站为背景进行计算，对地铁车站结构进行循环往复加载的Pushover分析，对不同强度地震作用下结构的地震损伤进行分析。

1 地下结构抗震分析的Pushover分析方法

进行地下结构Pushover分析时，建立带有附加自由场的土—结构分析模型，如图1所示［6－7］。模型底面采用固定边界条件，侧面采用混合边界条件，附加自由场模型边界条件与土—结构有限元模型边界条件相同。混合边界条件可通过对自由场模型进行分析获得：建立柱状土自由场模型，底面采用固定边界，侧面节点水平向位移固定，计算在自重作用下自由场模型侧面节点竖向位移与水平支座反力，以此作为Pushover分析时土—结构模型与附加自由场模型的侧面边界条件。

图1 带有附加自由场的土—结构相互作用分析模型Fig．1 Analysis model of soil－structure interaction system with additional free field．

采用静力分析方法计算土—结构模型与附加自由场模型在自重作用下的静力反应。在此基础上，在土—结构模型与附加自由场上施加水平分布荷载，按比例进行单调递增加载，直至目标位移。在Pushover分析达到目标位移之后，可根据需要继续加载至地下结构完全破坏，这样可以获得地下结构完整的能力曲线。

由于受到周围地基约束，地下结构的地震反应不同于地上结构，因此，对地下结构进行Pushover分析时，水平荷载分布形式和目标位移的确定也与地上结构不同。

1．1 水平荷载分布形式

对土—地下结构系统进行Pushover分析时，水平荷载一方面需要体现出地下结构与各土层惯性力的分布特征，另一方面应使所求得的位移能大体真实地反映出地下结构与各土层的位移状况［6－7］。因此，可对地下结构和各土层按照其所在的位置施加相应的水平等效惯性加速度。水平惯性加速度建议采用如下三种分布形式［6－7］：

（1）采用在输入地震波作用下，自由场各土层的绝对峰值加速度分布。

（2）采用地下结构对应的土层发生最大变形时刻的有效惯性加速度分布。其中第i层土的水平有效惯性加速度可表示为

式中：ai为第i层土单元水平有效惯性加速度；τi－1，τi分别为地下结构对应土层发生最大变形时刻，第i层土单元顶部与底部的剪应力，当i＝1时，τ0＝0；ρi、hi分别为第i层土单元的密度与厚度。

（3）借鉴地上结构Pushover分析方法，采用倒三角形或倒梯形水平惯性加速度分布形式。

对于以上三种荷载分布形式，第二种所得分析结果精度较高，而第三种最为简便。

1．2 目标位移的确定

自由场反应中地面与基岩间的峰值相对位移称为地面峰值相对位移（PGRD）［11］。研究表明，相对于设计基本地震加速度PGA，PGRD是更适合作为地下结构抗震分析与设计使用的设计地震动参数［11］。因此在对土—地下结构系统进行Pushover分析时采用PGRD作为Pushover分析的目标位移。

在进行地下结构Pushover分析时，为了实现PGRD作为目标位移，需要建立带有附加自由场的土—结构相互作用分析模型，对土—结构分析模型和附加自由场模型同时进行Pushover分析。此时可以方便地记录附加自由场地表与基岩间的相对位移，当其达到目标位移PGRD时，土—结构模型的Pushover分析即可结束。

在对带有附加自由场的土—结构模型同时进行Pushover分析时，相当于目标位移已预先确定，这是地下结构Pushover分析方法与地上结构Pushover分析方法不同之处［6］。

2 循环往复加载的Pushover分析方法

由于地震荷载的作用方向是往复的，一般在达到地震波波峰之前结构将经历一段时间的往复地震作用，引起结构变形，同时产生耗能，对结构造成损伤。而传统Pushover分析方法仅对结构进行一次单方向的单调加载，无法准确地模拟真实的地震作用。目前针对地上建筑结构，已提出了循环往复加载的Pushover分析方法，更为精确地模拟了地震作用的实际发展过程［8－9］。

对于地下结构Pushover分析方法，当采用循环往复的加载方式时，首先对土—地下结构系统进行正向加载，逐步增加水平等效惯性加速度，直至附加自由场模型达到预定水平的目标位移PGRD；接着完全卸载，对土—地下结构系统进行反向单调加载，直至附加自由场模型达到反向的目标位移PGRD；然后再完全卸载，此时即为完成一次循环。重复以上过程，可根据需要进行多次循环往复加载分析。在循环往复加载结束，附加自由场模型达到预定水平的目标位移之后，可继续单方向单调加载至地下结构完全破坏，获得对应于地下结构经历地震作用后完整的能力曲线。

循环往复的加载方式和单向单调加载的加载方式存在很大区别，前者一方面可以得到整个循环过程中结构构件的内力、变形的变化、塑性铰位置和节点转角等，同时又考虑了构件双向受力的影响，从而更合理地模拟了地震作用的往复特征。

为了方便地对地下结构进行循环往复加载的Pushover分析，可采用基于多点位移控制的推覆分析算法［12］。通过控制附加自由场模型的顶点水平位移进行往复加载至正、负方向目标位移，即可完成地下结构循环往复加载的Pushover分析。

3 基于循环加载Pushover分析的损伤模型

建筑结构地震损伤评估大多采用基于强度的损伤模型和基于反应的损伤模型［13］。地震作用下，结构刚度随之降低，损伤程度随之加大，因此可根据地震过程中结构刚度的退化来定义结构的损伤模型［10，13］。Ghobarah等［14］直接以刚度比的形式建立结构损伤模型。这种损伤模型是对结构进行两次Pushover分析，一次是结构经历地震作用前，一次是结构经历地震作用后。结构总的损伤值以及各构件的损伤值可由结构经历地震作用前后的刚度比来表示。结构的刚度损伤模型可用下式来定义：

式中：D为结构的损伤指数；Kinitial、Kfinal分别为结构经历地震作用前、后，采用Pushover分析得到的基底剪力－顶部位移关系图中的初始斜率。

同理，单个构件的刚度损伤模型用下式来表示：

损伤指数从0到1变化，取决于结构所经历的损伤累积。当D＝0时，代表结构（构件）没有发生损伤；当D＞0．8时，则对应结构倒塌（构件失效）。各损伤等级对应的损伤指数范围如表1所示［14］。

表1 不同损伤程度的损伤变量值［14］Table 1 Damage index variation with damage degrees

针对地下结构，可以借鉴上述方法进行损伤分析。然而，根据文献［14］的损伤模型计算步骤，在完成第一次Pushover分析后，需要先对土—地下结构系统进行地震作用下的动力分析，在此基础上确定地震反应并进行第二次Pushover分析。由于土—地下结构系统的非线性动力分析将增加分析问题的复杂性，且工作量大、耗时多，而Pushover分析方法的主要优点就是避免了非线性动力分析的繁琐。为克服上述不足，可基于本文提出的循环往复加载的地下结构Pushover分析方法进行地震损伤分析。

图2 循环往复加载过程中的能力曲线Fig．2 Capacity spectrum of Pushover analysis under reversal load．

4 算例分析

为了便于分析比较，选取文献［6］中的崇文门地铁车站进行计算，如图3所示。图中A1、A2、B1、B2为控制截面。此车站为钢筋混凝土拱形结构，结构与周围土层的材料参数按文献［6］取值。建立有限元分析模型如图4所示，图中左侧为土—结构相互作用分析模型，右侧为附加自由场模型。

图3 崇文门站标准断面（单位：m）Fig．3 Typical cross section of Chongwenmen station（unit：m）．

图4 带有附加自由场的土—结构相互作用分析有限元模型（单位：m）Fig．4 Finite element model of SSI system with additional free field（unit：m）．

在上覆土层重力和水平地震综合作用下，结构侧墙及中柱将承受压弯作用。为了较好的模拟钢筋混凝土压弯构件的非线性特性，本文采用THUFIBER纤维模型［15］，其中，混凝土及钢筋应力—应变曲线如图5所示。为了模拟土体的非线性特性，采用各向同性硬化的弹塑性模型，应力—应变关系如图6所示，屈服准则采用抛物线型莫尔－库仑准则［6，16］。

图5 钢筋混凝土压弯构件纤维模型和材料本构模型Fig．5 Fiber model of reinforced concrete members with flexure and compression and material constitutive models．

图6 土体弹塑性应力—应变曲线Fig．6 Elasto－plastic stress－strain curve of soils．

文献［15－16］已证明，采用本文建议的材料模型进行土－结构相互作用分析，可以较好地模拟土体的软化及地下结构在压弯条件下的非线性行为。

4．1 循环往复加载的Pushover分析

由于倒三角形加速度分布形式简单，易于在土—结构模型中施加，并且具有较好的计算精度［6］，本文选择该水平荷载分布形式进行Pushover分析。根据文献［6］，目标位移取 Loma Prieta波、El Centro波和Kobe波在相同PGA条件下PGRD的平均值，对应于不同PGA的目标位移PGRD如表2所示。选择表2中的目标位移PGRD进行循环往复加载的Pushover分析。结果表明，图3所示的4个控制截面中A1、B2较早进入屈服状态，下面采用这两个截面进行比较分析［6］。

图7、8给出了不同目标位移预期下，进行一次循环往复加载Pushover分析过程中，控制截面弯矩与地面峰值相对位移的关系曲线，其中竖向虚线表示对应的目标位移PGRD。

表2 不同PGA对应的目标位移PGRD（单位：m）Table 2 Target displacement PGRDs of different PGAs（unit：m）

从图中可以看出，完成一次循环往复加载后，结构（构件）发生损伤，使得同样变形量的荷载值逐渐减小，强度发生退化，同时结构的刚度也随着减小。

对比不同目标位移预期下的关系曲线可以看出，随着目标位移PGRD的增大，结构（构件）损伤越严重。当PGRD＝0．006 8m（PGA＝0．1g）时，由于结构（构件）基本上仍处于弹性阶段，此时进行往复加载的Pushover分析，截面弯矩与地面峰值相对位移的关系曲线变化不大；当PGRD＝0．058 8m（PGA＝0．8g）时，由于结构（构件）开始部分进入塑性，此时完成一次循环往复加载后，截面弯矩与地面峰值相对位移的关系曲线与单向加载时存在明显区别。

对比控制截面A1、B2可以看出，两个截面的滞回环捏拢，耗能能力较差。通过分析发现，这是由于在上覆土层重力作用下，地下结构中柱与侧墙产生较大轴压力，高轴压比使得压弯构件耗能能力较差。

图9给出了目标位移PGRD＝0．073 6m（PGA＝1．0g）时，进行2次循环往复加载的Pushover完整能力曲线与传统Pushover分析的比较。

从图9中可以看出，进行循环往复加载Pushover分析后，控制截面能力曲线在达到对应目标位移PGRD前与传统Pushover分析存在明显区别，这主要是由于在地震作用下，结构承受往复荷载，产生塑性变形，结构刚度减小，再次加载时承受荷载能力减弱。而在达到目标位移PGRD后，与传统Pushover分析结果相比，循环往复加载Pushover分析给出的能力曲线存在一定的刚度退化和强度退化。

4．2 地震损伤分析

根据第3节中定义的损伤模型，以目标位移PGRD＝0．073 6m（PGA＝1．0g）为例进行地震损伤分析。传统Pushover分析和1次循环往复加载后的Pushover分析得到的力—位移曲线如图10所示。

图7 控制截面A1弯矩随地面峰值相对位移变化曲线Fig．7 Moment－PGRD curves of control cross section A1．

图8 控制截面B2弯矩随地面峰值相对位移变化曲线Fig．8 Moment－PGRD curves of control cross section B2．

由图10可计算两次Pushover分析得到的关系曲线的初始斜率，并根据式（5）即可计算对应构件的损伤指数D，结果见表3。

同样地，对应于表2中不同的目标位移PGRD，可计算经历相应水平地震作用后的损伤指数如表4所示。

表3 构件损伤指数计算Table 3 Calculation of damage indexes

参照表2进行分析，截面A1对应的结构中柱，当PGA在0．1～0．4g范围内，损伤指数D＜0．15，属于轻微破坏；当PGA＝0．8g时，属于中等破坏可修；当PGA继续增大时，构件发生严重破坏不可修、甚至失效。而截面B2对应的结构侧墙，当PGA不大于1．0g时，损伤指数D＜0．15，属于轻微破坏；当PGA＝1．6g时，构件发生可修的中等破坏。分析以上结论，相对于中柱，在整个受力过程中结构周围土体对侧墙提供了支撑作用，一定程度上提高了其构件承载力。

表4 不同目标位移PGRD作用下的损伤指数Table 4 Damage indexes of different PGRDs

图9 控制截面能力曲线Fig．9 Moment－PGRD curves of control cross sections．

为验证本文采用的损伤模型计算结果的合理性，图11给出了结构在PGRD分别为0．028 2m、0．058 8m、0．073 6m 和0．129 1m 时的变形以及结构塑性铰发展示意图。○、⊗ 、●分别代表塑性铰的不同发展阶段，且为依次增强顺序，为了方便比较，将实际变形放大20倍。

图10 循环往复加载前后Pushover分析得到的力—位移曲线Fig．10 Moment－PGRD curves of Pushover analysis before and after reversal load．

图11 结构变形与塑性铰的发展Fig．11 Development of deformation and plastic hinges．

从图11可以看出，当PGRD为0．028 2m时，结构大部分构件开裂，但未出现塑性铰，属于轻微破坏；当PGRD为0．058 8m时，中柱顶、底部逐渐出现塑性铰，此时为中等破坏、可修，侧墙塑性铰初步发展，可认为仍属于轻微破坏；当PGRD超过0．073 6m后，中柱塑性铰发展较为严重，为严重破坏，侧墙为中等破坏且破坏程度逐渐加强。由此可以看出，本文提出的损伤模型可以对结构的损伤状态给出有效的评估。

5 结 论

结合地震作用特点，本文提出了一种循环往复加载的地下结构Pushover分析方法，并在传统结构损伤分析的基础上提出了基于循环加载Pushover分析的损伤模型。通过本文研究可以发现，循环往复加载的地下结构Pushover分析方法具有以下特点与功能：

（1）模拟了地下结构在地震作用下正向加载－卸载－反向再加载的过程，考虑了地下结构在地震作用下双向受力的特点，更为合理地模拟了地震作用的实际发展过程。一次循环往复加载过程可近似等效为一次地震作用。

（2）基于循环加载Pushover分析的损伤模型，避免了复杂的非线性动力分析，方法操作简便。结合基于多点位移控制的Pushover分析方法对目标位移进行控制，形式简单，具有较好的计算精度。

（3）可以模拟在整个循环往复过程中结构构件内力、变形的变化，并预测塑性铰的发展及结构的薄弱环节等。结合结构构件刚度的变化实现对结构损伤的评估。

本文提出了循环往复加载的地下结构Pushover分析方法及与之相适应的地下结构地震损伤分析方法的整体框架，通过算例初步验证了方法的有效性。这一方法尚存在有待改进之处，同时，方法的计算精度亦需进一步验证。

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