Airy方程的一类边值问题的解的相似构造法

王芙蓉，李顺初，许东旭

(西华大学 应用数学研究所， 四川 成都 610039)

0 引言

特殊函数[1]不仅是研究数学问题中所必须的，也是力学、物理学、大气科学和海洋学以及工程技术研究中所不可缺少的.近年来的研究[2～4]表明，针对具有转向点的奇摄动问题及流体线性稳定流动等问题的数学模型，可经变量替换转化为Airy方程(z″-xz=0)来求解.

本文对Airy方程作适当的变量替换将其转化为Bessel方程，而Bessel方程在解偏微分方程(渗流微分方程)的边值问题中经常见到，因此对Bessel方程的求解问题的研究[5～13]就显得极为重要.2004年提出的解的相似结构理论，即将微分方程的解析表达式进行整理和化简，得到解式的相似结构形式，更精确地分析了边界条件对微分方程边值问题的解的影响[14～18].

本文在以上研究的基础上，经观察分析所求的Airy方程的一类边值问题的解可知，此解具有类似于实数可表示为连分式的所谓式相似的性质.分析求解Airy方程的一类边值问题的步骤可知，此边值问题可以先由Airy方程的任意两个线性无关的解和右边界条件系数构造出相似核函数，再由左边界条件中的系数决定的相似结构式进行组装，得到Airy方程的一类边值问题的解，从而获得求解该类边值问题的一个新方法——相似构造法.该方法不仅方便了工程模型的求解和分析，而且方便了相应工程分析软件的编制.

1 问题的提出

本文研究如下Airy方程的一类边值问题:

作者简介:王芙蓉(1990～)，女，湖北荆门人，硕士生，研究方向为微分方程及其应用.

(1)

其中a，b，m，n，α，β，U均为实数，且U≠0，β>α>0，m2+n2≠0.

在下述第2部分给出四个有用的引理，第3部分论证两个基本定理，第4部分给出相似构造法的步骤及举例说明，最后归纳几点认识.

2 预备知识

引理2 Airy方程的通解为

(2)

其中:d1，d2为任意常数;Ih(·)，Kh(·) 分别为h阶的第一、第二类变型Bessel函数.

引理3 构造二元函数

ψm，n(x1，y1，t)=Km(x1t)In(y1t)+(-1)m-n+1Im(x1t)Kn(y1t)

(3)

则有

(4)

(5)

(6)

证 根据变型的Bessel函数的微分性质[19]:

则有

同理可证(5)、(6)式成立.

为便于Airy方程边值问题(1)的解的构造，下面引入引解函数及解的生成函数.

引理4 由Airy方程的两个线性无关的解z1(x) ，z2(x)来构造二元函数(称为引解函数)。

从而得到

(7)

(8)

(9)

(10)

(7)～(10)式称为解的生成函数.

证 同引理3，根据变型的Bessel函数的微分性质[19]，可得:

同理可证(9)、(10)式成立.

3 主要定理及其证明

定理1 边值问题

(11)

(其中m，n，α，β均为实数，且β>α>0，m2+n2≠0)有唯一解：

(12)

证 由于 -x≤0，x∈(α，β)，则根据微分方程边值问题解的唯一性定理[20]知，边值问题(11)有唯一解.

根据引理2知， Airy方程的通解为(2)式 ，则

(13)

(14)

由于边值问题(11)有唯一解，则关于待定系数d1，d2的线性方程(13)、(14)的系数行列式△≠0，

即

mφ1，0(α，β)+nφ1，1(α，β)≠0

(15)

由Cramer法则知：

(16)

(17)

将由(16)、(17)式确定的d1，d2代入(2)式中，即得边值问题(11)的解:

再应用(15)式及引理3，即得(12)式.下面证明，它是边值问题(1)的解的相似结构中的相似核函数.

定理2 边值问题(1)有唯一解

(18)

此式称为边值问题(1)的相似结构式.

证 同定理1，由于-x≤0，x∈(α，β) ，则根据微分方程边值问题解的唯一性定理[20]知，边值问题(1)有唯一解.

(19)

(20)

△*=

(21)

由Cramer法则知：

(22)

(23)

再应用 (21)式和引理3，整理后即得(18)式.

由定理1和定理2，经观察或简易地运算，易得在实际应用中的几个有用的推论.

推论1 在边值问题(1)或(11)中，若右边界条件为z(β)=0 (即m≠0，n=0 )，则相应的相似核函数为

(24)

推论2 在边值问题(1)或(11)中，若右边界条件为z′(β)=0(即m=0，n≠0)，则相应的相似核函数为

(25)

推论3 边值问题(1)的解式(18)的结构中的第一个连分式有如下性质:

(26)

此式反映了解在左边界处的本质性的特征，在实际应用中起着十分重要的作用.

4 利用相似构造法求解问题

对定理1和定理2进行分析，可得Airy方程边值问题(1)的解的相似构造法步骤：

第一步:由第一、第二类变型的Bessel函数构造二元函数(3)式；

第二步:由Airy方程的两个线性无关解构造引解函数φ(x，ξ)，对x，ξ求偏导及混合偏导可得到解的生成函数(7)～(10)式；

第四步:由左边界条件 [az+(1+ab)z′]|x=α=U中的系数a，b，U进行组装可得Airy方程边值问题(1)的解(18)式.

例如，对边值问题：

(27)

根据相似构造法，求解如下:

第一步:构造二元函数

第二步:由Airy方程的两个线性无关解构造引解函数φ(x，ξ)，从而得到解的生成函数

5 结论与认识

1)Airy方程边值问题(1)的解式(18)具有类似于实数可表为连分式的所谓式相似的性质.

2)由相似核函数和左边界条件的系数组装得到Airy方程的一类边值问题的解，其中相似核函数φ(x)由Airy方程的任意两个线性无关解和右边界条件确定，而当右边界条件的变化，只需要改变相似核函数即可，这更优于通解的功能，是对通解的深化和发展.

3)此方法方便了工程模型的建立和求解，有利于进一步地分析解的内在规律和编制相应工程分析软件.

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