两种分形计盒维数的研究

张天凤 吴艳秋

(吉林师范大学数学学院，四平 136000)

0 引言

维数是对一个集充满空间程度的描述，是在用很小的比例观察一个集时对这个集不规则性的极好量度.本文就分形的计盒维数(简称盒维数)加以研究，为分形维数的计算提供了简便而有效的方法.

1 计盒维数的定义

设F为Rn上任意非空的有界子集，Nδ(F)表示直径最大为δ，且可以覆盖F的集的最少个数，则F的上、下计盒维数分别定义为[1]:

其中，Nδ(F)可以是下列两个数中的任一个:①覆盖F的边长为δ的最少的立方体数;②覆盖F的直径最大为δ的集的最少个数.

2 康托尘计盒维数的计算

预备知识:设E0表示边长为1的正方形.将E0均分成16份，保留其中的4个，使这4个小正方形向任意两边的垂直投影均覆盖E0的边.E1的每一个小正方形也如此构造，进而构造出E2.以此类推，得到Ek，则:

定理1 若F为康托尘集，则dimBF=1.

证明:设F是康托尘集，显然，F被Ek的4k个边长为4－k的正方形所覆盖，若4－k＜δ≤4－k+1，则有:

另一方面，若4－k－1≤δ＜4－k，则任一边长为δ的正方形最多与F中的一个边长为4－k的正方形相交，为覆盖F，至少需要边长为δ的正方形4k个，则Nδ(F)≥4k，有:

即得证.

3 von Koch曲线计盒维数的计算

预备知识:设E0为单位长度的线段，E1由E0除去中间的线段，被以底边在被除去部分的等边三角形的另两条边所代替得到的集.同样的手法作用在E1上，则得到E2.以此类推，当k趋于无穷时，折线序列趋于曲线 F，称 F 为 von Koch曲线[2].

定理2 若F为von Koch曲线集，则

证明:设F是von Koch曲线集，显然，F被Ek的4k个直径为3－k的集覆盖，若3－k＜δ≤3－k+1，则有:

另一方面，若3－k－1≤δ＜3－k，则任一直径为δ的集至多与F中的一个线段相交，为覆盖F至少需要直径为δ的集4k个，则Nδ(F)≥4k，有:

即得证.

4 结论

本文借助计盒维数的定义，研究了康拓尘、von Koch曲线这两种分形的计盒维数，充分体现了计盒维数在计算过程中的优势，即易于理解，并且运用了最常用的处理手段，对初学者理解计盒维数的计算思想、计算分形的计盒维数有一定的启发与指导意义.

[1](英)肯尼思·法尔科内著.分形几何—数学基础及其应用[M].曾文曲，刘世耀，戴连贵译.沈阳:东北大学出版社，2003:57－65.

[2]王东生，曹 磊，混 沌.分形及其应用[M].合肥:中国科学技术大学出版社，1995:10－11.

[3]相中启.一类 Cantor集的盒维数[J].江汉大学学报，2006，34(2):19 －20.

[4]王万恒.盒维数的一个等价定义及其应用[J].数学物理学报，1999，19(3):130－137.