两个幂等算子多重线性组合的群逆

段樱桃

(湛江师范学院数学与计算科学学院，广东湛江524048)

设H为无穷维复Hilbert空间，B(H)表示Hilbert空间H上所有有界线性算子全体组成的集合．R(P)、N(P)分别表示算子PB(H)的值域和核空间，R(P)⊥表示R(P)的正交补空间．若P2=P，P称为一个幂等算子;若P2=P=P*，则称P是一个正交投影，其中P*表示P的伴随算子．由文献［1］，假设TB(H)，把满足下列3个算子方程的解XB(H)称为T的群逆，记为T#．满足上述3个算子方程的解如果存在，则必是唯一的，且(T*)#=(T#)*．使得N(Tk+1)=N(Tk)(R(Tk+1)=R(Tk))的最小的非负整数k，称为T的升标(降标)，记为asc(T)(desc(T))．众所周知，如果asc(T)、desc(T)是有限的，则asc(T)=desc(T)是T的Drazin指标，记为ind(T)．TB(H)的群逆T#存在当且仅当T有有限的升标和降标使得ind(T)=asc(T)=desc(T)≤1．当ind(T)=0时，T的群逆就是一般逆，即T#=T-1．若T是群可逆算子，则αT也是群可逆的且(αT)#=T#/α，其中α是任一非零复数．

算子群逆在奇异的微分方程、差分方程、Markov链以及迭代法等方面具有相当广泛的应用，2个算子线性组合的性质研究也成为算子理论领域热点问题之一．LIU等［2］研究了2个幂等矩阵的线性组合的群逆，很多学者把这种结论从有限维Hilbert空间推广到了无限维Hilbert空间上，比如DENG等［3-8］刻画了2个幂等算子和与差的群逆及其表示;讨论了2个幂等算子和、差与积的Drazin可逆性并给出了其Drazin逆的表达式;ZHANG和WU［9］研究了2个幂等算子的线性组合的Drazin可逆性．本文主要运用算子分块的技巧，分别给出了在无限维Hilbert空间中，当PQP=0，PQP=PQ时，2个不同的幂等算子P、Q的多重线性组合aP+bQ+cPQ+dQP+ePQP的群逆的精确表示．

为了证明主要结论，先给出一些引理．

引理1［10］假设 AB(X)，BB(Y)，CB(Y，X)．如果A、B是Drazin可逆的，则

分别是Drazin可逆的，且

其中

如果A是可逆算子，B=0，则M是群可逆算子．

引理2［3］假设 PB(H)是幂等的，则存在一个可逆算子SB(H)使得SPS-1是一个正交投影．

引理3［11］给定算子 A，BB(H)，则下列命题是等价的:

(1)R(B)⊆R(A);

下面给出本文的主要结果和证明．

记 θ =a+b+c+d+e≠0，a，b，c，d，e 是任意的非零复数．任给2个不同的幂等算子P，Q，当PQP=0时，首先给出P、Q多重线性组合aP+bQ+cPQ+dQP+ePQP的群逆的表达式．

定理1 若P、Q是2个幂等算子，当PQP=0时，对任意的非零复数 a，b，c，d 及 e，aP+bQ+cPQ+dQP+eQPQ是群可逆的且

证明 因为P、Q是幂等算子，不失一般性，由引理1假设P是一个正交投影．若PQP=0，由引理3，R(QP)⊂N(P ，R(QP)⊂R(Q)．P、Q 在空间分解H=)⊕R(P)⊕(R(QP)⊥⊖R(P))(其中表示R(QP)的闭包)下分别具有矩阵分解形式:

Q的幂等性隐含着Q233=Q33，R(Q33)是封闭的．

令

R(QP)⊥⊖R(P)=R(Q33)⊕R(Q33)⊥，则P、Q关于空间分解

且

其中

显然当 a=1，b= ±1，c=d=e=0 时，可知［3］

(ii)如果PQ=0，有

定理2 若P、Q是2个幂等算子，当PQP=PQ时，对任意的非零复数 a、b、c、d 及 e，aP+bQ+cPQ+dQP+eQPQ是群可逆的且(aP+bQ+cPQ+dQP+eQPQ)#=

证明 因为PQP=PQ，P、Q关于空间分解H=R(P)⊕R(P)⊥分别有矩阵形式:

由Q是幂等算子可知 Q21=Q1，Q24=Q4，Q3Q1+Q4Q3=Q3．则在空间分解

下，P、Q又有算子矩阵形式:

且 Q32=0，Q43Q32=0，Q42Q21+Q43Q31=Q41．所以

可逆的，由引理1，有

若PQ=QP或者QP=Q，直接计算可知PQP=PQ，由定理2，下列命题成立:

(i)如果PQ=QP，则

(ii)如果QP=Q，则

PQP=Q隐含着PQ=QP=Q，由推论2可得:

［1］WANG GR，WEIYM，QIAOSZ．Generalized inverses:Theory and computations［M］．Beijing:Science Press，2004．

［2］LIU X J，WU L L，YU Y M．The group inverse of the combinations of two idempotentmatrices［J］．Linear Multilinear A，2011，59:101-115．

［3］DENG CY．The Drazin inverses of sum and difference of idempotents［J］．Linear Algebra Appl，2009，430:1282-1291．

［4］DENG C Y．The Drazin inverses of products and difference of orthogonal projections［J］．JMath Anal Appl，2007，335:64-71．

［5］DENG C Y，WEIY M．Characterizations and representation of the Drazin inverse involving idempotents［J］．Linear Algebra Appl，2009，431:1526-1538．

［6］DENG C Y．Characterizations and representations of the group inverse involving idempotents［J］．Linear Algebra Appl，2011，434:1067-1079．

［7］DENG C Y，WEI Y M．Further results on the Moore-Penrose invertibility of projectors and its applications［J］．Linear Multilinear A，2012，60:109-129．

［8］CVETKOVI'C-LLI'C D S，DENG C Y．The Drazin invertibility of the difference and the sum of two idempotent operators［J］．J Comput Appl Math，2010，233:1717-1722．

［9］ZHANG S F，WU JD．The Drazin inverse of the linear combinations of two idempotents in the Banach algebras［J］．Linear Algebra Appl，2012，436(9):3132-3138．

［10］CASTRO-GONZLEZ N，KOLIHA J J．New additive results for the g-Drazin inverse［J］．Proc Roy Soc Edinburgh，2004，134A:1085-1097．

［11］DOUGLASR G．On majorization factorization and range inclusion of operators in Hilbert space［J］．Proc Amer Math Soc，1966，17:413-416．