浅谈微积分教学中课堂问题的设置

2013-08-15牟金平

台州学院学报 2013年6期

牟金平

（台州学院数学与信息工程学院，浙江临海 317000）

随着专业建设的深入，许多高校为不同专业的学生安排了大量的专业课和公共课。这些专业每周的课时非常紧张，甚至有些课被安排在晚上来完成。在这种情况下，成功的教学取决于两个因素:一方面，学生本身要能合理地安排时间，包括学习、生活等；另一方面，教师能提供高效的课堂教学。

实际上，从学生的平时学习习惯和微积分课程期末考试的结果发现，相当一部分的学生不能有效地安排学习时间，教师的课堂教学也存在一些问题。具体表现在以下两方面:一方面，有些学生的学习习惯差，整体上表现为班级的学风差，最终体现为考试不及格的人数众多等；另一方面，由于有些高校习惯于大班教学，教师偏重于讲授式授课，课堂中缺乏必要的互动，教师并没有提供高效的微积分课堂教学。由此可见，在普通高校中，微积分的教学效率还有待于进一步提高。

1 微积分的教学研究现状

近几年，国内外许多教学工作者对高等学校的微积分教学展开广泛的研究，得出大量关于提高教学效率的研究成果。根据认知学、认知负荷理论和既定的实例，Miller David对微积分的课堂教学提出“三步”机制，以此提高学生的学习效率和自学能力［1］。文献［2］把研究性教学引入到微积分的教学中，通过把课堂教学分成确定问题、研究问题、发展探索三个阶段，让学生参与到微积分课程的学习中。文献［3］提出以“推迟判断”为特征的概念教学，同时加强发现思维能力的培养，鼓励不同见解，培养“求异思维”品质。文献［4］强调从重视绪论课的教学、注重教学方法和教学手段的多样化、渗透建模思想、加强数学思想方法和数学文化的教学等方面探讨了对提高“微积分”教学质量的认识。以引例为基础，文献［5］探讨了引例在微积分概念教学中的意义。

上述所列的文献从多方面提出了提高微积分教学效率的若干策略，这些策略侧重于课前准备、课堂上如何落实教学任务等。但是，对于如何设置师生互动，并以此来提高课堂教学效率的问题尚未引起足够的重视。事实上，微积分的课堂教学并不是对所准备教案的简单体现，如果课堂教学中缺乏必要的师生互动，则微积分的教学就不一定能成功。因此，适当地增加师生互动，以此来提高教学效率显得尤为重要。

在微积分的课堂教学中，要实现适当的师生互动，教师可以在上课的各个阶段（如引入新内容、讲授新内容和课堂练习等环节）精心设计相关的课堂问题来实现。近几年来，对于如何设计课堂问题、提高课堂教学效率等问题，许多教学同行对其进行多方面的研究（如［6，7］）。文献［6］提出了教师如何重视课堂问题的质量、重视师生互动和问题解答过程；文献［7］指出课堂提问要随机应变，如问题最好安排在学生的兴趣点、教学内容的难点、思维的发散点、知识的聚合点、知识的正迁移点和问题的梯度点处提问，并且提问时要注意时间和问题反馈等。

2 课堂问题在微积分教学各环节中的实施

在微积分的教学中，教师的活动是课堂的焦点，在整个教学过程中起主导作用，学生是教学活动的主体，以平等的身份与教师互动。在此过程中，吸引学生的注意力，让他们饶有兴趣、平等地参与教学活动是成功教学的关键。以下针对教学过程中的复习与引入、讲述新内容、有指导的练习、小结和课外练习分别探讨设计相应的课堂问题。

2.1 复习与引入

众所周知，复习与引入对于上好一节课非常重要，其地位相当于学生对本节课的第一印象。通常情况下，一方面，由于课时和大班学生人数的限制，教师可能忽视了课堂问题的设置；另一方面，有时教师急于完成教学任务，简要地重复上次的讲课内容。这种简单而枯燥的重复对本次讲课的引入无多大益处，反而可能会引起学生对本节课的反感。想要从上课一开始就吸引学生的注意力，并使得他们对教师的讲课内容感兴趣，比较有效的方法是以课堂问题的形式给出复习的内容。这样，教师能在很大程度上吸引学生的注意力，为上好这节课做了一个好的开端。

为了使学生能继续积极地参与教学活动，教师要找出复习内容与新内容的切入点，并适当“美化”切入点。所谓内容的切入点通常指前次课与本次课内容相关的连接点。事实上，教师要找出这样的切入点并不难。但是，光找出切入点是不够的，切入点也许没有足够的吸引力，这就需要适当地“美化”切入点，使之内容丰富、形象“有血有肉”。如高等数学教材中导数的概念可作为切入点，因为导数的定义是由前面的极限来刻画的，此处就是连接前面内容的连接点。而其中的引例—“求质点变速直线运动的速度”可以用来美化它，即导数可以解决质点变速直线的速度问题，这是公式v=s/t所不能直接解决的，并且导数是研究函数单调性、凹凸性和极值等众多性质的重要工具。

从已有的知识背景引入到新内容，教师要讲清其中的知识背景，已有储备知识的局限性、有效性以及引出新知识的必要性、优越性和延续性、以及解决其中关键问题的简单措施等。这样，教师不仅能给出美观的切入点，还能给学生一个清晰的知识框架结构，开阔学生的视野，增加学生学习本节课的兴趣。把握切入点，教师以适当的形式给出问题，这包括随机提问、自问自答、点名提问等。对于学生的回答，教师应给出适当的评价，并实施相应的激励措施，使得学生延续其积极思考的正迁移。

2.2 讲述新内容

一般地，讲授新内容是落实微积分“基本理论、基本知识、基本技能”的主要过程。在这个过程中，教师要落实知识重点，化解其中的难点，并且教师需要及时把握学生的掌握情况。当前，在讲授新内容时，讲授式教学法正广泛地被高校教师所采用。但是，如果整堂课单纯地使用讲授式教学，教师过分地占主导地位，忽视学生的主体地位，这种方式通常被划入“注入式”的范畴，其结果一般是教学效率低下。如果讲授式能适当地结合课堂提问，准确地把握新内容中的兴趣点、重点、发散点、聚合点、和梯度点，精心设计相应的小问题，以适当的形式提出问题，则既能充分体现教师的主导地位，又能充分地发挥学生的主动性，师生之间不乏互动。因此，如果讲授式能充分地与课堂问题相结合，则讲授式能成为微积分课堂教学中一种高效的教学方式。

通常地，微积分的知识密度大、难点多，教学任务繁重。在讲解中，抽象的定理证明、复杂的公式推导和有些例题都会增加学生的学习困难。教师惟有在讲解每一块内容时适当地设计问题，并分解过于集中的难题，把分解后的每个小问题变成一个相对较易的思考题，这样，教师能吸引学生的注意力，并能与学生共同解决问题。

众所周知，对大学新生来说，极限的概念极其抽象。同样，对教师来讲，极限及其相关性质的知识密度大、难点集中，这部分内容不易讲解。而从表面上看，学生已经具备部分极限的相关知识，似乎这部分的内容只要简要介绍即可。从这个角度出发，教师可以花费很少的时间就可以完成教学任务，而事实并非如此。通过比较不难发现，中学里所列举的极限概念是从定性角度给出的，缺乏严密的量化刻画，而高校微积分中的极限概念是从定量角度给出的，定义严谨并具有严密的逻辑性。从培养学生的逻辑思维能力上看，定量刻画极限的要求远远高于其定性的描述，因此，笔者认为，这部分的内容不可马虎处理。

如何讲解数列极限及其相关的性质，能让学生充分理解、掌握其中的内容？找出其中的兴趣点、难点、发散点、梯度点等是成功解决这个问题的前提，设置相关的课堂问题是解决这个问题的有效手段，及时把握学生的动态是成功解决这个问题的保障。事实上，为什么要重新学习极限的概念？这里极限的概念是怎么描述的？这些问题都是学生感兴趣的，即极限的另一种描述是一个兴趣点，而极限定义中可任意给定的正数与“无限接近”是本节课的难点。笔者曾尝试作如下分解:什么是任意给定的正数？用什么量去刻画接近程度？解决这两个问题后，教师可给出“数列无限接近某个数实际上指任意给定一个范围（接近程度），除了有限点以外，数列中的无限多个点都落在事先指定的范围内”。在接下来的内容中，极限的性质是本节课的发散点，从前面的性质一直到数列极限的保号性，这段范围内存在一个梯度点。另外，收敛数列的保号性也是本节课的一个难点，教师需要恰当地分解难点，逐一设置问题讲解。此外，教师要及时地把握学生的动态，充分考虑学生的学习效果，使“学”和“教”的节奏保持一致。这样，教师才能顺利地完成教学计划。

在课时少的大班和混合班的微积分教学中，师生共同解决相关的课堂问题是增加师生互动的有效途径。在这个教学环节中，教师能成功地落实“三基”中的基本知识、基本理论，至于如何落实基本技能还得借助于下面的环节，即课堂练习或课外作业。

2.3 课堂练习

如果有足够的时间，课堂练习是一个很好的师生互动环节。如在一般的微积分教材中，编者安排了大量导数的习题。当然，这些习题有多方面的用途，如可用作课内练习、课外作业、学生自学等。针对课堂教学中的知识要点，适当地筛选课后的练习，有步骤、有梯度地训练学生。针对练习过程中存在的问题，教师精心设计与新内容紧扣的若干问题，做到有的放矢，适当地提问和解答练习中的问题。

课堂练习是落实学生掌握基本技能的重要途径，教师有必要认真设计、讲解其中的若干问题，其重要性不亚于基本知识和基本理论的落实。当然，如果时间有限，客观上不允许教师安排课堂练习，在这种情况下，教师通过适当地布置课外作业，让学生在课外自学中掌握基本技能。

2.4 小结和课外作业

小结是一节课的结束点，同时又是连接下一次课的纽带。带着问题去思考刚学过的知识，既能梳理教学内容，也能让大多数的学生积极参与到教学活动的最后环节中来。同理，课外作业也有双重的功效:一方面，课外作业能够帮助学生掌握必要的知识和技能，另一方面，含有精心设计问题的课外作业能够把学生吸引到后续学习的轨道上来。

从本质上看，上述的各个环节实际上是师生共同发现问题、分析问题、解决问题和情感体验的过程。在教学的不同环节中，教师若能精心地设计诸多的小问题，并给出合理的激励措施，就能够尽大可能地把学生引入到教学活动中来。这样，教师的教和学生的学都会有很高的效率。高效的教学效率有助于把学生从繁忙的“事务堆”里解放出来，便于他们自主、合理地安排各课程的学习，从整体上有利于学生的成长。