中职数学与高职数学教学衔接研究

2013-08-15凌蕾花束永祥

镇江高专学报 2013年2期

凌蕾花，束永祥

(1.镇江高等专科学校人事处，江苏镇江 212003;2.镇江高等专科学校丹阳师范学院，江苏丹阳 212300)

数学学习是一项系统工程，数学教学更是一项系统工程。中职数学是高职数学的基础，高职数学是中职数学的延续和拓展。二者在内容、方法上的衔接至关重要。

1 教学内容断层

中职数学大多使用的是普通高中数学教材。实施新课程标准后，普通高中数学教材较之前的教学理念、课程标准、教学内容有了重大改变，分为必修和选修两部分。其中，必修部分所涵盖的解三角形、立体几何、不等式、数列、函数、平面解析几何等内容与以前的教材相同，同时，新增了概率、统计、算法、向量等内容。但删除了正割函数、余割函数、反三角函数，极坐标，参数方程等内容。部分知识如复数等进入选修教材［1］。而高职数学的教材大多没有随之更改内容，致使中职数学与高职数学在教学内容上存在一些断层。

1.1 内容缺失

由于中职数学和高职数学是2个相对独立的数学教育子系统，安排教学内容时没有及时做好沟通与衔接工作，致使某些在高职数学中直接使用的知识点在中职数学中没有讲解。空白点虽少，却直接影响高职数学的教学。

1)三角函数与反三角函数。新课程标准实施后，中职数学中删除了正割函数、余割函数、反三角函数及三角函数的和差化积、积化和差公式等内容。而大多数高职教师当年使用的教材包含这些内容，导致其在教授微积分时，未加补充就自然而然地使用了相关知识，进而产生了知识脱节。

2)极坐标与参数方程。在中职数学中消弱了极坐标与参数方程等内容。参数方程、定积分与重积分的元素法(微元法)在极坐标系中的应用是微积分的重要内容，而且极坐标系是构成柱面坐标系的基础。

3)复数。中职数学中，复数被置于选修部分，其内容只包括复数的概念及复数代数形式的四则运算。而复数的三角形式的缺失会导致学生在学习“二阶常系数线性微分方程”时面临困难。

1.2 内容重叠

高职数学和中职数学教学内容的重叠主要包括完全重叠(内容深度、内容广度、教学要求相同)和部分重叠(内容相同，但深度、广度和教学要求不同)。如函数，函数单调性、极值及最值，导数概念，求导法则，空间直角坐标系，向量，古典概型概率、条件概率、样本及样本空间等内容［2－3］，为方便学生理解，在中职数学中大多描述直观、浅显，与高职数学中的精确性、严格性、系统性差异较大。若衔接时不加以说明，就会迷惑学生。

1)集合。在中职数学中，只介绍集合、子集的概念，交集、并集、补集的运算。在高职数学中，还介绍了邻域、差集、集合的4个运算律、两集合的Decartes乘积等。

2)函数。在中职数学中，函数定义以集合和对应语言描述的方式给出。在高职数学中，用严密的集合论观点给出关系(有序)定义，视函数为映射的特殊情况(X，Y 均为数集)［1］。

3)极限。极限的定义在中职数学中是描述性的，而在高职数学中是严格的“ε－δ”定义。在中职数学中，只要求学生能判断给定函数极限的存在性和在指定点的连续性，会计算简单类型的函数极限，函数极限存在的充要条件、四则运算，连续函数最值定理等内容记住结论即可，而高职数学中则要求严格的证明。

4)连续。“连续”概念在中职数学中没有给予具体的阐述，只是在某些内容如“定积分的定义”“方程的根与函数的零点”中提到，以“函数的图像是连续不断的一条曲线”替代。函数连续的定义在中职数学中只有1种形式，即“f(x)在x0连续的充要条件是f(x)=f(x0)”，在高职数学中有3种形式，并用定义严格证明了f(x)在x0连续的性质，给出了区间上的连续函数定义，介绍了闭区间上连续函数的性质及证明。

5)导数。中职数学与高职数学教材中重叠最多的内容便是导数。中职数学多举实例，重结果和应用，轻推导和证明。在实例中学习变化率与导数、导数的计算(包括常见的基本初等函数的求导公式、导数的四则运算)、导数的应用(判断函数的单调性、单调区间、极值和最值)。高职数学的阐述则更为全面、严格，如在导数的定义中增加了条件“函数y=f(x)在x0的某一邻域内有定义”和导数为无穷大时的定义，在导数的计算中给出了常见函数(包括反函数)求导公式的证明，并系统阐述了复合函数、隐函数、由参数方程所确定的函数求导，高阶导数等，并严格地论证了可导与单调性、极值等的关系。

6)积分。在中职数学中，主要讲解定积分的概念、性质、几何意义及简单应用，微积分基本定理。被积函数主要是幂函数、三角函数(sin x，cos x)、指数函数ex。在高职数学中，不定积分和定积分不仅在内容上有所深化，还包含了分部积分与换元法等内容。如二者都是以求曲边梯形的面积为例定义定积分的，但是中职数学中是均分区间，ni取特定点，即左端点，高职数学中ni取区间内任意点［4］。

7)数列与级数。在中职数学中，只介绍数列的定义，等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项求和公式及初步应用。在高职数学中，不仅介绍级数的定义，即为无限项数列求和，还要用级数研究函数的分析性质，构造一些非初等函数。

1.3 数学符号表示及其涉及范围不一致

中职数学与高职数学执行标准不同，直接导致数学符号在使用及其所涉及的范围不一致。如N*在中职数学中表示正整数集，在高职数学中表示该数集中排除0的集，如补集、方差、标准差在中职数学分别使用CuA，S，S2，而在高职数学中分别使用¯A，D(X)或Var(X)，σ(x)。如果在使用时不加以说明，会给教学工作造成某种程度的混乱［2］。

2 教学理念差异

在教育理念上，中职数学以培养学生学习技巧和几何思维能力为目标，重技巧、轻思想，高职数学以解决实际问题为目标，重思想、轻技巧。中职数学教学追求运算技巧，很少讲解数学问题的来龙去脉、数学思想的内涵和数学的实际价值。也因为如此，在学习中职数学时，学生时常会感觉记忆公式简单但如何应用非常困难，手动计算量大且相对较难。高职数学教学强调数学思想的来龙去脉，注重揭示数学概念和公式的实际来源和应用，还原“冰冷的美丽”为“火热的思考”。虽然需要记忆的公式增多了，但应用方法相对简单，适用即可，计算也相对简单，复杂的运算交给计算器或Matthematica，Matlab等数学符号运算软件来完成，也可以利用计算机编程解决问题，如计算微分方程、矩阵、微积分等［3］。如几何部分，中职数学偏重立体图形的证明，不仅需要精确的平面作图，还要能构造辅助线。高职数学更多的是空间向量几何，突出的是图形与计算而非证明，主要是通过几何条件列出的线、面方程去想象空间图形，对作图要求不高，可以利用计算机画图［5－6］。

中职教师一般会省略掉容易的内容，让学生自学，而高职教师往往把大多数学生不能理解的或者复杂冗长的定理证明留给愿意自学的学生课后阅读、学习。

3 学习方法不同

考虑学生的年龄因素、思维特点，中职数学与高职数学相比，其教材形式更加活泼、漂亮，语言更加生动、口语化，例题、习题更加紧密联系实际，注释、思考环节更是随时补充与提升内容的好方法，而且在内容选取上，大多属于与其解决基本问题能力相关性非常高的概念、定理等。但总体上，教学内容相对较少，时间充裕，进度缓慢，更多时候，教师像保姆一样带着学生学习，基本上采用生动形象、通俗易懂的语言边讲边练边讨论的方式，板书多，提问多，互动多，训练形式多，学生有大量时间消化吸收，甚至可以当堂掌握。在学习中，学生对教师的依赖非常严重。

高职数学则不然，它是中职数学的深化，知识点更多，信息量更大，理论性更强，抽象度更高，语言更加精确、规范，概念之间的推演与逻辑联系更为严谨，更加注重数学思维训练与综合运用能力的培养。学生对概念、定理等的理解程度与其解决实际问题的能力并不对等。由于内容多，时间紧，进度快，教师只是引导者，大量的知识需要学生自主学习［4］。要想真正形成系统、严谨的知识体系，能够轻松地解决问题，就必须克服对教师的依赖，学会合理分配时间，多阅读，多思考，加强学习的主动性、自觉性、自主性。

4 有效衔接策略

中职数学是高职数学的基础，高职数学是中职数学的延续和拓展。在教学中衔接自然、流畅的话，可以让学生顺利进入高职数学的学习，使其数学知识更加系统。

4.1 教学内容重新整合

中职数学教师与高职数学教师实现真正意义上的沟通很难，但在五年一贯制的教学中，他们可以合二为一。五年一贯制是中职和高职的结合体，教师不仅教授中职数学，还教授高职数学，他们对二者的内容结构非常熟悉，可以通过有效整合教学内容，使之前后呼应，环环相扣，实现中职数学和高职数学的有效衔接，保证知识的连续性和统一性。

1)无则增。在高职数学中需要用到而在中职数学中没有涉及的相关知识，如反函数、反三角函数的定义、定义域、值域、图像、性质及一些计算公式，三角函数的和差化积与积化和差公式，参数方程，极坐标(特别是常用的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化)等内容，可以在讲解中职数学时加以补充。为了让学生更顺畅地学习高职数学，也可以适当补充缩放法、错项相减法、代换法等，并适当渗透函数建模思想，培养学生数学建模意识［1］。

2)有则精。有些内容，如集合、实数、自然数、整数、有理数、无理数、虚数、函数、基本初等函数、分段函数、极限、导数、概率等，在中职数学和高职数学中都有介绍，但在中职数学中只是简单地直观描述，在高职数学中，其语言的表述、符号运用更加精准、规范。教师可以在教授中职数学时告知学生二者的关系，指明引起差异的原因，语言描述、符号使用统一的好处。还可以将高职数学中一些特殊的、图象不容易画出的分段函数，如黎曼函数、狄利克雷函数等，提前介绍给学生。而在高职数学教学中，可以将中职数学的部分内容提取出来，扩展其知识深度，让学生体会高职数学与中职数学的内在联系。如讲授函数时，适当扩展描点法，画出三角函数、二元函数、幂函数、指数函数等基本初等函数相应的图象，以了解基本初等函数图象的全局、渐近线、极值点、最大值与最小值点［5］。

3)同则略。在中职数学中精讲过的内容，在高职数学中可以直接使用或略过不讲，如导数概念、导数的四则运算法则、函数单调性判定、函数极值及最值求法，不定积分概念，空间直角坐标系、向量定义与向量运算，古典概型概率、条件概率、总体与样本等内容［3］。

4.2 教学理念逐步转变

中职数学和高职数学的教学理念存在很大差异。若教学理念在时间节点上转变得过于明显、快速，则会给学生从中职数学转向高职数学的学习带来一定的困惑。这种变化过渡自然的话，学生的学习就可能实现无缝对接。

1)知识结构一目了然。展示总体知识框架，让学生深刻理解中职数学与高职数学知识之间的关联性、相融性。如高职数学中的求极限，判断函数连续性，复合函数、反函数、隐函数求导，最值问题，判断级数的敛散性等都是以基本初等函数为基础的。空间解析几何则是将二维平面问题立体化产生的新问题。

2)教学方法多样化。利用多媒体和数学软件，让学生动手操作实验，可以使抽象的内容直观化，帮助学生更好地理解概念和定理。如利用多媒体的动画功能展示用多个矩形面积和的极限表示曲边梯形面积的过程，以具体生动的直观形象引入抽象的定积分概念。通过编程计算了解积分区域分割的精细程度与精确值之间的相关性，深刻理解分割求和取极限的微分思想［7］。对比中职数学和高职数学对同一问题的解决方法，可以让学生更好地理解二者思想方法的异同，懂得学习高职数学的必要性和重要性。如中职数学中，常常使用构造法，通过不等式变形、柯西不等式证明不等式，相对较难，而高职数学中可以直接应用导数导出不等式。如用中职数学中的不等式、配方等方法求极值，容易混淆极值和最值概念，遗漏极值，加之技巧性高，适用面很窄，只能解决一些特殊问题。在高职数学中，极值和最值的概念清晰明确，用微积分方法，有固定程序可循，技巧性要求低，适用面更广。中职数学研究对象多为常量，以研究“直边图形”为主，代数运算次数有限。高职数学更多地体现出常量与变量、曲与直、有限与无限通过极限方法实现互相转化。如函数可以展为无穷级数，视曲线的弧长为直线的极限，视直线、平面为曲线、曲面的特例，利用微分“以直代曲”，通过积分“化直为曲”。

3)还原思考过程。适当讲一些数学思想史［8］，还原数学知识产生时火热的思考过程，帮助学生了解数学的概念、方法和理论的来龙去脉，更好地理解数学知识。如牛顿和莱布尼茨利用“微积分基本公式”，将不定积分(作为原函数的概念)与定积分(作为积分和的极限的概念)2个原本完全不相干的概念联系起来，给予定积分新的方法:牛顿—莱布尼茨公式，将积分学与微分学有机融合在一起成为变量数学的基础学科——微积分。如莱布尼茨引进的积分符号“∫”(“Sum”字头S的拉长)和微分符号d(dx是x的某种变化)体现了积分与微分的“和”与“差”的实质。

4)注重数学的应用。在教学中适当增加一些数学在其他领域应用的实例，如将导数经济化而产生经济学术语“边际”，Black-Scholes方程(微分方程)是一种期权定价模型，还可以增设一些研究性课题作业，如建立奖励基金问题，投篮角度等，使抽象问题具体化、专业化、应用化，让学生以发现者、探索者的身份，体会数学的应用价值，自觉运用数学工具解决现实问题［7］。

4.3 学习方法更加自主

高职数学与中职数学相比，其概念更加复杂，理论性更强，表达形式更加抽象，推理更加严谨。高职数学的概念基本以变量的形式出现，是动态的产物。在学习时，需要学生更加关注细节，更加关注数学的思想方法，更加关注数学符号语言的应用。

1)学会课前预习、课中听讲、课后复习，做好笔记，标注重点、难点。课堂上认真听讲是必不可少的环节，课前预习和课后复习也非常必要。高职教师大都不会布置太多的作业，学生要会自己安排时间阅读、温习。通过课前预习，可以了解主要的知识点，知晓自己对它们的理解程度及困惑之处，有重点、有选择地听课，克服对教师的过分依赖，学习更积极、自信。通过课后复习，可以学会概括和总结，加深对知识的理解，形成系统的知识体系，保持长久记忆，提高逻辑思维、空间想象和应用能力。通过一定的习题领悟一些常用技巧、特殊方法，如隐函数求导的类型，抽象函数求导的方法，积分的方法等，可以降低学习的难度，提高学习效率［9－10］。

2)学会阅读，注重细节。阅读能力是自学能力的重要体现，是主动获取知识的重要保证。阅读数学书籍时，必须逐字逐句推敲，把握细节，特别是定义、定理及其推论。公式、定理、法则都有其成立的条件，这些条件在相关结论的推证中起着特定的作用，不可忽视，否则容易犯错误。

3)领悟思想，学会方法。高职数学不仅注重结果，注重计算技巧，更注重过程，注重思想方法的领悟。在高职数学学习中，不仅要掌握常用的数学思想方法，如归纳法、类比法、分析法、综合法、数学模型法、变量替换法、恒等变形法等，还要能活学活用，做到举一反三，逐类旁通。如通过类推法，熟练记忆导数、微分、积分公式表，学习求导求偏导，求微分求全微分，求定积分求不定积分，求二重积分求三重积分的方法。如利用微元法解决可以转化为积分的实际问题。