空间几何体基本元素的解读、联想与发散

2013-08-15谢卉

科技传播 2013年10期

谢卉

楚雄师范学院数学系，云南楚雄 675000

在日常的生活当中，我们所说的平面是那种很平的面，但是都是有限度的，平面在立体几何当中是非常理想化的，是那种非常平而且无限延伸扩展的。在立体几何当中，平面是不可度量的，也是无限延展的，因为构成平面的元素直线本身就是无限延伸扩展的，我们只能够画出一部分直线，平面能够包含直线，就是因为直线的这个无限延展的特性。在立体几何当中，平面是不分大小和厚薄的，它跟平面几何当中的图形基本上是不相同的，在平面几何中，平面的图形是能够区分大小的。

1 质疑与联想

1）点动成线的意思就是把线段当成是一个点运动之后的轨迹，如果是一条直线或者线段的话，那说明这个点在运动的过程当中从来就没有改变运动的方向。如果这个点在运动时候一直改变运动方向的话，那它运动过后的那个轨迹就是一条曲线或者是一条曲线段。；

2）线动成面的意思就是一条直线在不改变方向的平行运动之后，轨迹所形成的一个平面，如果在运动过程中改变了运动方向，那轨迹就是一个曲面了。直线也可以绕着一个固定的点进行转动，之后所形成的就是一个锥面了；

3）面动成体的意思就是当一个面进行有规则的运动之后，轨迹就会形成一个空间几何体了；

4）长方体的性质。在长方体当中，有一个性质：在长方体里，它的对角线长度的平方与定点的三条长的平方和相同。这是长方体中一个很重要的性质，在做题的时候会经常用到它。

2 相关的概念

2.1 异面直线的意义

在不同的平面内，如果两条直线既不平行又不相交，那就叫做这两条直线为异面直线。因此我们可想而知，在空间当中，两条直线的关系能够有三种，平行、异面和相交。

2.2 直线与平面

如果一条直线和一个平面没有相交的点，那我们可以说这个明面与这条直线是平行的。

2.3 直线和平面的垂直关系

如果一条直线与一个平面相交，且与这个平面相交的地方能够形成一个直角，那就说这条直线与这个平面是垂直关系。

2.4 平面垂直

两个平面相交之后且其中有一个平面穿过了另外一个平面的垂线，那么我们就说这两个平面是相互垂直的。

2.5 平面之间相互平行

平面相互平行的概念最是简单也较为容易理解，如果两个平面没有相交点也就是公共点的话，那么我们就说这两个平面是相互平行的关系。

3 相关的公理

在几何体之中，有这样一个公理：如果在一条直线之上，有两个点都在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上。这个公理也是判断直线是否是在平面上的定论。在学习这个公理之前，如果要辨别一条直线是否在平面之内的话，就要看这条直线上的所有的点是否都在这个平面之内了。这条公理能够简化很多的证明过程，以后在证明的时候，只要看在直线上是否有两个点在平面上就可以了。这条公理还能够证明一个面是否是平面，方法就是：固定在这个平面内的一条直线上两个点，然后进行旋转这个平面，如果旋转之后直线上别的点也在这个平面内，那就证明这个面是一个平面了。

这条公理主要是研究的平面和直线之间的关系，它能够用来分辨一条直线是否在这个平面之内，还能够区别这个平面是否通过了这条直线。这条公理的条件就是直线上的两个点在平面之内，也是一个必须要有的条件，结论就是证明一条直线上全部的点都在那个平面之内。如果从集合上来看，意思可以理解为，如果一个点集中有两个点属于另一个点集，那么这个点集就是另一个点集的真子集。总的来讲，也就是两个看法或者观点：直线在平面之内，这条直线上所有的点都在这个平面之内。

第二个公理：如果有三个点不在同一条直线上，那么就说他们只能形成一个平面，意思就是三点不共线，只能确定一个平面。如果三个不共线的点能够形成一个平面，那么两个点又是什么样的情况呢？或者是四个点以及更多的点。很显然，经过两个点的平面会有很多个，如果是四个点的话，它们都在一个平面之内就能够确定一个平面，比如说长方形的四个顶点，如果这四个点不在同一个平面之内，那么就不能确定一个平面了，同理，很多个点也是这种情况。所以，这条公理就要特别要求两点：不共线、三点。这条公理的作用可规整为四点：1）它能够判断三个点是否是在同一条线上；2）它能够证明三个不共线的点只能组成一个平面；3）能够充分的证明不在一条线上的三个点存在着平面；4）能够辨别某个图形是否是平面的图形。

理解第二条公理，可以分为以下几点：1）这条公理是用来确定平面的基本条件，也能够证明两个平面之间是否重合；2）能够确定一个平面的条件就是把空间里的图形转变为平面的图形来解决问题，这也是个必要的条件，也为其他的一些问题提供了重要依据，比如证明直线共面；3）深度的体会“有且只有”这个条件，它主要是特别说明了平面存在以及唯一这两个问题。

第三条公理：如果两个平面不重合的话，并且只有一个共同的点，那么就说它们有且只有一条公共的直线过这个点。这条公理反映出了平面和平面之间的关系，证明了如果两个面有一个共同点，那么它们肯定就会有一条共同的线，而且这条线还会过这个点，这条线也是唯一的。如果当做集合来看，如果两个平面不重合，但是它们有一个共同的点，那么它们就是相交的关系，交集就是那条公共的直线。这条公理不仅能够证明两个平面是否相交，还能够辨别点是否是在直线之上。如果这个点是两个平面的共同点，而这条线又是这两个平面的共同线，那么就可以判定这个点一定就在这条线之上。所以这条公理还是证明点共线的重要依据。