扰动算子的群可逆性及其表示

胡春梅

(丽江师范高等专科学校 数计系，云南 丽江 674100)

1 引言与引理

设X和Y为两个任意可分的Banach空间，L(Χ，Υ)是从X到Y的有界线性算子的全体，L(Χ，X)记为L(Χ)。对任一算子A∈L(Χ，Υ)，R(A)，N(A)和Reσ(A) ＞0分别表示A的值域，零空间和特征值的实部。

定义1[1]设 A∈ L(Χ)，称满足下列方程的算子 X∈L(Χ)

(1)AXA=A，(2)XAX=X，(3)AX=XA为A的群逆，记X=Ag。且A的指标为1，即Ind(A)=1。

引理1[2]设A∈L(Χ)且Ind(A)=1，则在空间分解Χ=R(A)⊕R(A)⊥下，存在可逆算子

此时，

引理2 设A∈L(Χ)且Ind(A)=1，E∈ L(Χ)。若‖AgE‖＜1，则I+AgE和I+EAg均可逆，且

2 主要结果

定理1 设A∈L(Χ)且Ind(A)=1，E∈L(Χ)，B=A+E，‖AgE‖＜1，AAgEAπ=0，

若EAπ=0，AπE=0则 B是群可逆的且 Bg=(I+

证明：由引理1可知，在空间分解Χ=R(A)⊕R(A)⊥下，A、Ag和AAg、Aπ分别具有(1)和(2)中的形式，且可设E=

由条件AAgEAπ=0，EAπ=0，AπE=0，可计算出E12=0，E21=0，E22=0.

又因为‖AgE‖ ＜1，则由引理2，I+AgE可逆，即I+Ag可逆，则A11+E11可逆，所以由引理1知B是群可逆的。

[1]DJORDJEVIC D.S.，VLADIMIRI RAKOCEVIC。Lectures on generalized inverse[M].Faculty of Sciences and Mathematics：University of NiS，2008.

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