概率论在医学上的应用案例教学设计

陈志明 杜新满

【摘要】概率论的教学，学生普遍感觉难学难懂，枯燥乏味，该文通过两个案例的教学，说明概率论在医学上的应用十分广泛，且对科学研究有很重要的指导意义。提高了学生学习兴趣，同时也说明案例教学是当今职业教育教学改革的必然选择。

【关键词】概率；随机变量

文章编号:ISSN1006—656X(2013)06 -0136-02

一、教学分析

本次课是在学生学习了独立重复试验的概率及离散型随机变量的概率分布与数字特征的基础上进行的，是对概率论相关知识在生活中应用的广泛性的初步认识。概率论的内容学生普遍感觉难学难懂，枯燥乏味，大部分学生认为自己到医学院学习，是以学习医学知识为主，数学知识作用不大，尤其对纯理论的内容缺乏兴趣。如果用实例进行教学可以激发学生积极参与课堂教学，体现知识的实用性、趣味性；也是“教、学、做合一”的教学理念的体现。教学中力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生的思维能力，动手能力，探究能力为重点的教学思想。

二、教学过程

前面我们学习了概率论的一些基础知识，今天这次课要用这些知识帮助一位医生判断药物的疗效。

案例一：药物疗效的判断

一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0.25，为了试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用。他事先规定一个决策规划：若这10个病人中至少有4人被治好，则认为这种新药有效，提高了治愈率；反之，则认为无效。求：（1）虽然新药有效，并把痊愈率提高到0.35，但通过试验却被否定的概率；（2）新药完全无效，但通过试验却被判断为有效的概率。

学生仔细阅读案例，并开始讨论案例含义，讨论后请学生大胆表达自己的理解。

先解决（1）：对（1）而言，实际上是说新药是有效的，并且把痊愈率提高到0.35 ( 包括自然痊愈率在内)。由于决策规划是10个病人中至少有4人被治好，则认为新药有效。通过试验却被否定，意思是10个病人服用后，最多只有3人被治好，因此，只好认为此药无效，这显然是做了错误的判断（按数理统计的语言来说，犯了第一类错误，或叫弃真错误），计算犯这错误的概率。

故此问题转化为：某新药对某疾病的痊愈率为p =0.35，求10个病人服此新药后，最多只有3人被治好的概率是多少？（建立数学模型）

这样转化后，就把一个实际生活问题变成一个纯数学问题。而此数学问题正好符合贝努里概型。

一般地，如果在每次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

由于独立重复试验的概率由瑞士数学家贝努里首先研究，所以，上述公式也叫贝努里概型公式。

（让学生找出所求问题与贝努里概型之间的联系）

10个病人服药可以认为10次独立重复试验，每个病人的痊愈与否可以认为彼此不受影响（即使是传染病，也是能隔离治疗的），痊愈的概率p=0.35，不痊愈的概率1-0.35=0.65，于是“否定新药”这一事件等价于p=0.35时“10个人中最多只有3个治好”这一事件，﹛最多只有3个治好﹜是﹛0个治好﹜、﹛1个治好﹜、﹛2个治好﹜、﹛3个治好﹜的和事件。（此结论是由学生讨论后得出的）

故得所求概率为：

P（否定新药）= （此式中k=0，1，2，3）

= 0.6510+10×0.35×0.659+45×0.352×0.658+120×0.353×0.657

≈0.5136

（1）的概率已经求出，那么（2）的概率如何算呢？

不少学生认为：因为“判断新药有效”这一事件等价于“10人中至少4个治好”这一事件，而这一事件是“否定新药”这一事件的对立事件，因此得到

P（判断新药有效）=1-P（否定新药）

=1-0.5136=0.4864

大家思考一下，这样的算法对不对？

我们说上面的这种算法是错误的，上面算出的结果0.4864是判断“新药有效且痊愈率已提高到0.35的概率。而（2）所说的是要求“新药完全无效却判断为它有效”这一事件的概率（这也是一种错判的概率，这样的错误在数理统计上叫做第二类错误或取伪错误）。因为现在新药实际上是无效的，因而痊愈率是自然痊愈率0.25，而不是0.35，这样（2）中的“判断新药有效”就不是（1）中“否定新药”的对立事件。

（让学生讨论将此问题转化为数学问题）

此问题可转化为：某疾病的痊愈率为0.25，现有一新药让患此疾病的人服用，求10个病人服药后至少4人治好的概率？

当然仍作贝努里概型来处理。﹛至少4人治好﹜是﹛4人治好﹜、﹛5人治好﹜、﹛6人治好﹜、﹛7人治好﹜、﹛8人治好﹜、﹛9人治好﹜、﹛10人治好﹜的和事件。故得所求概率为：

P（判断新药有效）=

此式中k=4，5，6，7，8， 9，10，为了方便计算，上式也可写为

P（判断新药有效）=1-（此式中k=0，1，2，3）

=1-（0.7510+10×0.25×0.759+45×0.252×0.758+120×0.253×0.757）

≈0.224

讨论：P（否定新药）=0.5136此数据较大，说明新药本来有效，结果却被判无效的可能性较大，这样就浪费了大量的人力物力（因为新药的研制需要时间和金钱）。能否降低此值，减少犯弃真的错误。我们来改变决策规划：若10个病人中至少有3人被治好，则认为这种新药有效；反之，则认为无效。再计算一下

可得： P（否定新药）≈0.2615； P（判断新药有效）≈0.474。

P（否定新药）≈0.2615此数据变小了，犯弃真错误的机会也变小了，但P（判断新药有效）≈0.474却变大了，说明新药本来无效，结果却被判有效的可能性变大了，即犯取伪的错误机会变大了，则可能危及到生命安全。事实上，犯这类错误所生成的影响虽然不一样，但都会给工作带来损失。主观上，我们总是希望作出的判断能使犯这两类错误的概率都尽可能地小，但在一般情形下，两种错判的概率不能同时减小。（1）的概率减小（2）的概率就增大；（2）的概率减小而（1）的概率就增大。

下面我们运用所学的概率论知识来讨论一个化验方案。

案例二：化验方案的确定

某地区流行某种疾病，为开展防治工作,要对全区居民验血。一般可采取两种方法：

为了方便计算，设该地区共有居民N人。每人分别化验，共需要N次。

以k(k

用哪种方案更节省人力物力？

让学生阅读案例，并讨论案例含义，讨论后请学生大胆表达自己的理解。

讨论结果有人认为方案（1）好，如果发病率高，混合血液出现阳性的可能性就高，化验次数就可能大于N，也有人认为方案（2）好，如果发病率不高，化验次数就小于N，即使发病率高，k人一组，如两人一组，呈阴性时只化验一次，呈阳性时，再化验其一人，若呈阴性，另一人则呈阳性，也只化验两次。等等。

（学生争论后，老师再讲）

到底哪种方案较好，我们可运用概率论的知识加以推证：

设某疾病的发病率为p，则不发病的概率为q=1-p，按方法（2）化验时，每个人需要化验的次数ξ是一个随机变量，ξ的可能取值只有两个：1/k,1+1/k.