基于矩阵的GM(1，1)模型预测地面沉降——以北京市平原区为例

郭小萌，宫辉力，朱 锋，郭 琳，沈媛媛

(1．首都师范大学资源环境与旅游学院，北京 100048;2．北京市水文地质工程地质大队，北京 100195)

GM(1，1)模型是邓聚龙教授于20世纪80年代前期提出的用于控制和预测的新理论、新技术，目前已广泛地应用于各个学科领域，并取得了显著成就[1]。GM(1，1)模型通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，对原始数据进行处理以寻找系统的变化规律，生成规律性强的数据序列，进而建立微分方程，预测事物未来发展趋势。

地面沉降是指在自然和人为因素作用下，由于地壳表层土体压缩而导致区域性地面标高降低的一种环境地质现象，是地质环境系统破坏所导致的恶果，是一种不可补偿的永久性环境和资源损失，对资源利用、环境保护、经济发展、城市建设和人民生活构成了严重威胁[2]。

地面沉降影响因素复杂多样，主要包括地下水开采、动静载荷、新构造运动等，是一个包含土层-地质作用-人类活动的复杂系统，其中既包含已知信息又包含未知信息，因此可以将其概化为一个不具有物理原型的灰色系统，进而运用GM(1，1)模型对其进行建模和预测[3]。

1 基于矩阵的GM(1，1)模型简介

传统的GM(1，1)沉降预测模型都是基于单点的运算，无法获取整个区域的变化趋势。本文利用Matlab对GM(1，1)预测模型进行改进，将原有的单点模型扩展为矩阵模型，从而掌握区域地面沉降的发展规律，预测地面沉降的发展趋势。

针对矩阵各个元素，按以下步骤建立模型[4]:

(1)对矩阵内各元素对应的序列进行级比平滑检验，由P(k)=X(k-1)/X(k)，若P(k)⊂(0．1343，7．389)，则原始序列是平滑的，可用作预测，再对序列作级比界区检验，若P(k)⊂(e-2/(n+1)，e2/(n+1))(n为序列长度)，则原始序列可以获得精度较高的GM(1，1)模型。

(2)采用累加的方式，把原始时间序列转换为一个随时间变化趋势明显的时间序列，设原始时间序列:

其累加生成的序列为:

则有:

按X(1)序列建立时间函数为:

(4)将参数a、u带入时间函数，然后对X(1)求导还原得到:

(5)后验差检验。即先计算实测数据离差:

及残差的离差:

再计算后验差之比c=s2/s1以及小误差概率p=

(6)基于矩阵原理，按上述5个步骤对矩阵内所有元素建立模型。

2 实例分析

2.1 研究区概况

北京市位于华北平原西北边缘，全市总面积16807．8km2，包括 18 个区县，其中平原区 6236km2，占总面积的38%。地势西北高、东南低，由山前向南、东南倾斜，地貌分为西部山区、北部山区和东南平原三块。东南部是由大清河、永定河、北运河、潮白河、蓟运河冲洪积作用形成的平原。

近年来，北京市水资源需求不断增加，许多地区由于过量开采地下水，造成地下水位大幅下降，并直接导致地面沉降范围不断扩大。截至2009年底，最大年沉降量达到137．51mm，最大累计沉降量达到1163mm[5]。北京市平原早期沉降区有东八里庄—大郊亭沉降区，朝阳区来广营沉降区，昌平沙河—八仙庄沉降区，顺义平各庄沉降区，大兴区南部榆垫—礼贤沉降区，近年来还形成了多个新沉降区[6]。地面沉降不仅引起楼房墙壁开裂、地基下沉、地下管道工程损坏，而且降低了建筑物抗震能力、并使得测量水准点失准[7]。

2.2 模型构建及验证

本文采用的原始数据为北京市平原区23景ENVISAT ASAR影像(2003～2009年)及30个水准测量点数据，利用PS-InSAR技术获取得到该地区的各年累积沉降量，在 Matlab平台建立基于矩阵的GM(1，1)模型，采用水准测量数据进行精度验证，并进行区域地面沉降趋势的预测分析。

级比平滑检验表明，针对矩阵内所有元素建立的模型，P(k)⊂(0．8744，1．132)⊂(0．1343，7．389)，级比界区检验表明，P(k)的界区 =(0．7788，1．284)，由P(k)⊂(0．8744，1．132)⊂(0．7788，1．284)，说明本次实验数据可以获得精度较高的GM(1，1)模型。

在后验差检验中，需去除模型精度不达标的元素[8]。根据后验比c和小误差概率p，得到模型精度的指标见表1。

表1 模型精度指标Table1 Precision index of the model

本文将精度为“合格”以上的模型都用作预测。统计表明，对于矩阵内所有元素建立的模型，小误差概率p最大值为1，最小值为0．667，后验差之比c最大值为0．408，最小值为0．111，不合格的模型有4个，占总数的0．11‰(表2)。

利用模型计算2003～2009年北京平原区的累积沉降值(以2002年为基准开始累积)及多年平均沉降量，并与实际监测值进行比较。其分布特征见图1～2。

图1～2表明:实测结果与模拟结果在空间上具有高度的相关性，最大沉降量相对误差不超过12%，沉降区空间分布范围基本一致。利用ArcMap在图中随机选取100个点，对这些点的多年平均实测值与模拟值进行独立样本t检验，检验结果表明，当置信度为95%时，P=0．413，说明实测值与模拟结果无显著性差异，两者的拟合曲线见图3。

为进一步验证模型精度，根据区域内水准测量点数据，计算得到各点处2010年的累积沉降量，并与模型预测结果进行对比分析(图4)。统计表明，30个水准测量点中，有28个点的实测结果与预测结果误差不超过5mm，对二者建立回归分析，相关系数r=0．99，说明实测结果与预测结果存在显著性相关。

表2 模型运算结果表(仅列部分元素)Table2 Calculate results of the model(part of the elements only)

图1 研究区地面沉降实测结果Fig.1 Measured results of land subsidence of the study area

图2 研究区地面沉降模拟结果Fig.2 Similation results of land subsidence of the study area

综上所述，应用基于矩阵的GM(1，1)模型可以分析区域地面沉降趋势，且具有较高精度。

2.3 模型预测

利用基于矩阵的GM(1，1)模型，计算得到北京市平原区2011～2015年地面沉降预测结果(图5)。

结合图1、图2及图5，可以得出以下结论:

图3 实测值与模拟值拟合曲线Fig.3 Match of measured value and simulation values

图4 水准测量结果与模型预测结果对比图Fig.4 Comparison of measured values and simulation values

图5 研究区地面沉降预测结果(2011年，2015年)Fig.5 Prediction results of land subsidence of the study area(in 2011 and 2015)

(1)地面沉降范围逐渐扩大。平原区从中部几个小沉降区“扩散”为一个范围大、沉降严重的集中沉降区，2004年北京市平原区已有3218km2地区呈现地面沉降，到 2011年该数据达 4730km2，到 2015年有4900km2的地区呈现地面沉降，占平原区总面积的93．3%，其中，年均沉降5～10mm的地区最广，占沉降区总面积的45．1%;年均沉降0～5mm和10～20mm的分别占27%和24．8%;年均沉降20～30mm的占2．9%;沉降大于30mm的占0．2%。据北京市地面沉降危害分区参考标准，城市建设发展相对较缓的郊区县，年沉降速率30～50mm/a区域为地面沉降发育较严重区，大于50mm/a为严重区;市区内及重点城镇区，年沉降10～30mm/a区域为地面沉降发育较严重区，大于30mm/a区域为严重区。由此可见，北京市平原区地面沉降较严重区和严重区面积不断在扩大，已由2004年的93km2扩大到2011年的571km2和2015年的1281km2，地面沉降问题日益严重，覆盖面涉及海淀、朝阳、昌平、顺义、通州、大兴等区县。

(2)局部地区地面沉降程度日益严重。2004年全区最大沉降量仅 66．80mm，2011 年为 248．14mm，2015年达421．37mm，其中通州区徐辛庄附近沉降最严重，2011年、2015年单年沉降量分别36．2mm和37．9mm，多年平均沉降量达35．1mm/a。

(3)地面沉降趋势与地下水位下降趋势呈现正相关。已有研究表明，超量开采地下水是引起北京市地面沉降的主要成因[9]，近年来北京市每年开采25×108～27×108m3地下水，年超采约 2×108m3，加上1999年以来的连年干旱，地下水资源消耗过度、补给不足，致使水位持续下降，地面沉降形势愈来愈严峻，在经济发展迅速的城区和近郊，表现尤为显著。以朝阳东郊牛场625孔、昌平立水桥水文公司C205-A孔为例(图6)，地面沉降变化与地下水位动态变化趋势基本一致:从2004到2011年，各孔地下水位基本处于持续下降状态，地面沉降也以较快的速度发展，累积沉降量不断增加。

图6 625孔、C205-A孔处累积沉降量与水位变化关系Fig.6 Relation between accumulated subsidence and water level in observation wells 625 and C205-A

3 结论与讨论

本文以北京市平原区为研究区，利用基于矩阵的GM(1，1)模型对区域地面沉降进行预测，模拟结果显示，地面沉降的空间分布与PS-InSAR处理结果一致;采用独立样本t检验方法分析PS-InSAR处理结果与模型实测值，二者没有显著性差异;回归分析表明，地面水准点实测值与模型预测值具有密切的相关性。因此，利用基于矩阵的GM(1，1)模型进行区域地面沉降预测的精度较高，具有较好的可行性。

地面沉降的诱发因素有天然的及人为的，其形式及性质多种多样，在时间和空间上存在一定的不确定性，如果针对大空间尺度的长期预测，使用基于矩阵的GM(1，1)模型可能会存在一定的误差[10]。欲解决此问题，需要结合其他地理学方法对预测结果进行校正，以提高模型的预测精度。

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