基于多个BDLM的桥梁结构可靠度实时预测*

樊学平 吕大刚

(哈尔滨工业大学土木工程学院，黑龙江哈尔滨150090)

桥梁健康监测大致分为两个阶段:第一个阶段为监测系统的研究，包括传感器的研发和应用、数据无线传输系统的研发、数据采集与系统集成技术［1－2］等，该阶段的研究已较为成熟;第二个阶段为健康监测信息的应用，该阶段的研究主要集中在模态参数识别、损伤识别技术等领域［3］．通过健康监测信息对桥梁的可靠度进行预测和评定已取得了一定的成果［4－6］，但是基于桥梁结构的实时健康监测信息对结构的可靠度进行实时预测和评定，国内外的研究尚处于初级阶段．考虑到健康监测信息实时更新的特点，文中引入了贝叶斯动态线性模型(BDLM)，并基于桥梁结构的健康监测信息，建立了健康监测应力信息的组合预测模型;最后以一工程实例对建立的组合预测模型进行了验证．

1 监测极值应力的贝叶斯动态线性模型组合预测

1．1 贝叶斯动态线性模型的假定

贝叶斯动态线性模型是一种重要的状态空间模型，而状态空间模型的基本假定［7－8］如下:

(1)状态变量、监测误差以及状态误差均服从正态分布;

(2)状态变量(θt，t=1，2，…，n)的变化是个马尔可夫链;

(3)监测变量(yt，t=1，2，…，n)相互独立，且yt只与状态变量θt相关．

1．2 贝叶斯动态线性模型的组合预测模型

假设桥梁监测应力有n(n≥2)个动态线性模型［9］，第 i(i=1，2，…，n)个动态线性模型如下所述．

监测方程:

状态方程:

初始先验信息:

式中:yt为 t时刻的监测值;νi，t为监测误差项;θi，t为t 时刻的状态变量;ωi，t为状态噪声项;Di，t为 t时刻以及以前关于系统的信息集合，且 Di，t={yt，Di，t－1}，Di，t－1为 t－ 1 时刻的信息集，包括 mi，t－1(平均值)、Ci，t－1(方差)等等．另外，假设 νi，t、ωi，t各自独立且相互独立，并都与 θi，t独立．

若初始先验信息服从对数正态分布，则通过式(4)转化成拟正态分布［10-11］，μ'与 σ'为分布参数．

式中:g(·)为样本的实际概率密度函数;样本的实际概率分布函数为 G(·)，且 G(x0)=0．05．

1．3 贝叶斯动态线性模型的组合预测递推

若t－1时刻后验分布为

则有下面的递推关系［7-8，12］．

(1)t时刻的先验分布

式中:ai，t为 t时刻状态变量的先验均值，ai，t=mi，t－1;Ri，t为 t时刻状态变量的先验方差，Ri，t=Ci，t－1+Wi，t，Wi，t为 t时刻状态噪声的误差项．

(2)t时刻一步预测分布

式中:fi，t为 t时刻一步预测项的预测均值，fi，t=ai，t;Qi，t为 t时刻一步预测项的预测方差，Qi，t=Ri，t+Vi，t，Vi，t为 t时刻监测误差的方差．

根据HPD区域的定义，t时刻具有95%保证率的监测值预测区间为

(3)t时刻的后验分布

(4)t时刻取算术平均值的预测分布

(5)t时刻的组合预测分布

(6)组合预测的精度与取算术平均值的预测精度的比较［9］，

2 基于组合贝叶斯动态线性模型的可靠度预测

文中以一座全长188．81 m的五跨连续钢板梁桥为例［13-14］，对第三跨钢板的跨中梁底的极值应力进行了监测．对于实际工程来说，文中采用的可靠度计算方法(一次二阶矩法［15］)精度足够，即利用变量的一阶矩和二阶矩的信息．计算公式如式(11)所示:

式中，μM和σM分别为基于组合贝叶斯动态线性模型的监测极值应力平均值和标准差，μR和σR分别为按照规范计算的抗力的平均值和标准差，μS和σS分别为由钢板恒载所引起的应力的平均值和标准差，μC和σC分别为由混凝土恒载所引起的应力的平均值和标准差，γM是传感器的修正系数．

对于监测的可靠指标［14］，σM=0;对于文中一步预测的可靠指标，考虑到数据的随机性或不确定性，σM≠0．

3 算例验证

对前文提到的全长188．81 m的五跨连续钢板梁桥的第三跨钢板的跨中梁底的极值应力进行了40天的监测，每天的监测极值应力如表1所示．

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表1 实时监测极值应力数据Table 1 Real－time monitoring data of extreme stress

通过对以前的极值应力监测信息进行K-S检验可知，状态变量(趋势项数据)的先验概率密度函数f(x)为对数正态分布或正态分布．其中对数正态分布参数为:平均值 μ=20．05 MPa，变异系数 V=0．125;正态分布的参数为:平均值 μ =25．5 MPa，变异系数 V=0．186．

3．1 基于监测信息的贝叶斯动态线性模型

监测方程:

状态方程:

式中，0．01545表示趋势项数据(状态变量)变化率．

先验信息:

式中:yt为t时刻应力的监测数据;mt为t时刻应力的趋势项值;νt为监测误差;ωt－1为状态误差，表示状态的不确定性;V可由以前的监测信息来确定，且W=V/0．98，V为监测误差的方差，W为状态误差的方差．

(1)先验信息服从正态分布，建立动态线性模型，对监测极值进行预测;

(2)先验信息服从对数正态分布，转化为拟正态分布来建立动态线性模型，对监测极值进行预测;

(3)由(1)和(2)所得的预测值取算术平均值作为第3种情况的极值应力预测值;

(4)由(1)和(2)所得的预测值按照预测精度取权重所得的值作为第4种情况的极值应力预测值．

3．2 4种情况下应力的预测曲线及预测精度的比较

对3．1节中所描述的4种情况的预测结果以及4种情况的预测精度进行了比较分析，结果如图1－6所示．由图1可知，当先前的监测应力服从正态分布时，一步预测应力值和预测区间基本满足监测应力的变化趋势和变化范围;由图2可知，当先前的监测应力服从对数正态分布时，一步预测应力值和预测区间也基本满足监测应力的变化趋势和变化范围;由图3可知，取两种分布的算术平均值所得的预测应力和预测区间也同样大致满足监测应力的变化趋势和变化范围;由图4可知，由组合预测模型所得的预测应力和预测区间也基本满足监测应力的变化趋势和变化范围;由图5可知，4种情况下，一步预测得到的应力基本相近，也都能反映监测应力的变化趋势;由图6可知，组合预测的预测精度最高(组合预测即两种分布取权重所得到的预测)．

图1 先验信息服从正态分布时极值应力的预测曲线Fig．1 Forecasting curves of extreme stress when prior information obeys normal distribution

图2 先验信息服从对数正态分布时极值应力的预测曲线Fig．2 Forecasting curves of extreme stress when prior information obeys lognormal distribution

图3 取两种分布算术平均值所得的极值应力预测曲线Fig．3 Forecasting curves of extreme stress when the arithmetic mean of the predictive value of two distributions is adopted

图4 组合预测所得的极值应力预测曲线Fig．4 Combinational forecasting curves of extreme stress

3．3 基于组合预测应力的可靠度预测

由4种情况的预测精度可以看出，组合预测的预测精度最好．采用极值应力的组合预测模型，并结合式(11)来对结构的可靠度进行预测，结果如图7所示．图7可以很好地对结构的可靠度进行预测，预测值基本符合结构可靠度的变化趋势，预测区间基本上包括了实时监测的可靠度指标．

图5 4种情况下极值应力预测值的比较Fig．5 Comparison of extreme stress forecasted in the above four cases

图6 4种情况下极值应力预测精度的比较Fig．6 Comparison of forecasting precision of the extreme stress in the above four cases

图7 基于极值应力的组合预测模型的可靠指标变化曲线Fig．7 Variation curves of reliability indices based the combinational forecasting model of the extreme stress

4 结论

(1)建立的监测应力的贝叶斯动态线性组合预测模型，相对于单个的预测模型以及取平均值的点预测模型来说，一步预测值都很接近，但是组合预测模型具有较好的预测精度．

(2)基于应力的组合预测模型，对结构的可靠度进行预测，相对于确定性的监测极值应力的可靠指标而言，文中考虑了监测应力的随机性或不确定性，所得的可靠度较小，可以更好地对结构的安全状态进行评定．

(3)文中初次建立了监测数据的贝叶斯动态线性模型，而基于较复杂的数据信息，则需要对数据进行处理并建立贝叶斯动态非线性模型，因而有必要进一步研究贝叶斯动态模型以及数据的监控机制，并提高它的预测精度．

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