试论弹性碰撞的条件

程旭健

（武义二中，浙江 武义 321203）

弹性碰撞（又称完全弹性碰撞）是中学物理和大学物理中都涉及的课题.弹性碰撞的特点是碰撞前后两物体的总动量和总动能守恒.那么，弹性碰撞成立的前提条件是什么？

17世纪，惠更斯指出，只有在碰撞后物体不发生永久形变、不裂成碎块、不粘在一起、不发热以及不发生其他内部变化的情况下，动能才是守恒的.这个表述是具体的，直观的，但不够深入.

现在一般大学教材论述弹性碰撞的过程时，把它分为两个阶段：压缩阶段和恢复阶段.两物体碰撞压缩时有一部分（或全部）动能转化为弹性势能，在恢复阶段弹性势能全部变回动能.据此，有的文献提出了不妥当的说法.如网上百度百科这样定义弹性碰撞：两碰撞体的接触区域仅发生弹性变形的碰撞表述为：“真正能反映碰撞过程的定义应当是：如果两球碰撞过程中相互作用的内力完全是由于形变引起的弹性力（保守力），而无其他非保守内力的作用，则此碰撞称为完全弹性碰撞.”［1］

仅发生弹性形变的碰撞就是弹性碰撞吗？笔者认为，两个弹性体碰撞过程中相互作用的内力完全是由于形变引起的弹性力（保守力）的前提下（没有产生内能或塑性形变之类），这种碰撞还未必是弹性碰撞.因为碰撞过程中一般有部分动能转化为弹性势能，所以动能并不守恒，只能称为机械能守恒，即动能与弹性势能之和守恒，称不上弹性碰撞.现分析和计算如下，不妥之处请指正.

对于最简单的模型如两个带小球的弹簧碰撞见图1，动能是守恒的，但对结构稍复杂一点的物体，碰撞结束后，物体未必恢复原状，因而保留有一部分弹性势能，这部分弹性势能和动能相互转化，也就是说，物体碰撞结束之后还会振动.图2所示的两个钢球碰撞时有清脆的撞击声；碰撞弹开后我们试着用手抓住其中任一个钢球，手会感到有振颤感.这些事实说明物体碰撞后有一部分动能转化成振动的能量.

图1

图2

为简单起见，我们考虑这样一个物理模型如图3：碰撞的两物体是对称的，每个物体都由两个小球和两根弹簧联结起来，碰撞速度大小一样.由于对称性，它们的碰撞点（接触点，称为O点）是静止的.在碰撞结束前它们一直接触，这段时间内可以看作固定在O点，这样就把一个碰撞问题转化为弹性振动问题.为此建立坐标系如图4，x1、x2代表两小球偏离平衡位置的位移.建立该系统的振动微分方程（忽略小球与水平支承面之间的摩擦）.

图3

图4

写成矩阵形式

即

上式中

据文献，［2］上述方程有非零解的充分必要条件是

将具体值（4）代入，求得

设特解x1＝Asin（ω1t＋φ1），x2＝Bsin（ω1t＋φ1），代入方程（1）、（2），求得

设特解x1＝Csin（ω2t＋φ2），x2＝Dsin（ω2t＋φ2），代入方程（1）、（2），求得则设一般解为

代入（5）式，得

x1的两个分量都是周期函数，x1开始时为0，经过一段时间，再次为0时，左边第一根弹簧由压缩状态恢复原长，接下去x1变为正值，即弹簧将离开原点，意味着碰撞结束，算出此时物体的动能，与初始动能比较，就可以知道是否动能守恒.

对上述方程用天空软件站的图像绘制软件《冰竹之新数学函数 参数方程》按精确到小数点后4位求得时，第2次x1＝0.此时

而初始动能是

笔者再次用上述软件按精确到小数点后7位重新计算，得

可见以一个小球和一根弹簧联结而成的物体在对称碰撞后确实动能不守恒，有一小部分动能（大约4.5%，即由算出）转化成弹性势能.

上面的精确计算表明，一般弹性体碰撞结束后动能不守恒，有一小部分动能转化为弹性势能，所以不等于弹性碰撞.弹性碰撞是一种理想化的物理模型，除了要求碰撞过程中相互作用的内力完全是由于形变引起的弹性力（保守力）外，还要求碰撞物体刚度大（即变形小）、几何尺寸小，从而碰撞时间短，碰撞作用瞬时传到整个物体，这样的宏观物体的碰撞才可近似地看作是弹性碰撞.真正的弹性碰撞，只有在分子、原子以及更小的粒子之间才会遇到.

1 李增林等.力学.南京：南京工学院出版社，1988.197—203

2 中山大学数学力学教研室.力学教程.北京：高等教育出版社，1978.277—288