中考数学应用题解题方法指导

孟凡敏

近几年，联系实际、贴近生活的数学应用题不断出现在各省、市的中考试卷中.这类试题因充满时代生活气息，具有探究性、实践性、创新性等特点，越来越受到命题者的青睐.解决这类应用问题，首先能将题目提供的信息和素材进行抽象概括，转化为数学问题，建立数学模型；然后根据题目的要求，综合运用数学知识，分析解决此类数学问题，并对实际问题做出正确、合理地解答.现以2012年中考试题为例就应用题的类型加以说明.

一、方程（组）型应用题

方程（组）是研究数量关系最基本的数学类型之一，解决此类问题的关键是掌握必要的数据资料，分析问题所涉及量的关系，搞清其对象的本质特征，找出相等关系，设出适当的未知数，列出方程（组），特别注意要验证求出的解是否符合题意.

例1 （山东泰安）一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.

（1）甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？

（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

点评：本题是以完成工程的时间和费用为背景而设计的方程（组）类应用问题，意在让同学们经历“问题情境—建立方程—解方程—作答”的思维过程，体会方程是说明现实问题最有效的方法.解决这类问题的难点是通过熟悉题目中量与量之间的关系，利用不同的解题思路找出题目中的相等关系.

二、不等式（组）型应用题

现实世界普遍存在着不等关系，很多现实问题较难确定具体数值，但可以求出或确定出这一问题中某个量的变化范围，从而对所研究问题的面貌有一个比较清楚的认识.解答这类应用题须有较强的阅读理解能力，并掌握一定的探索方法.

例2 （湖南张家界）某公园出售的一次性使用门票，每张10元.为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）.年票分A、B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票.某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算？

解：设某游客一年中进入该公园x次.

故某游客一年进入该公园超过25次时，购买A类年票合算.

点评：本题是以购买“个人年票”的售票活动为背景而设计的不等式（组）类应用问题.此类题需要根据题目所给出的信息建立不等式（组）模型，再求出其解集.根据实际问题的意义，求出满足条件的解集，从而确定购买方案.问题的难点是如何建立不等式（组）模型，进而利用不等式的知识解题.

三、函数型应用题

函数型应用题涉及的知识比较广泛，解法灵活多变，是近几年中考的热点问题之一.解决此类问题需要建立函数关系，将实际问题转化为函数问题，以此来挖掘解题思路.关键是寻求两个变量的函数关系式，善于用运动变化的观点看待问题.

点评：本题是以拱桥禁止船只通行的时间为背景而设计的函数类应用问题.要求同学们体会函数思想在现实生活中的应用，体验从实际问题中抽象出数学问题，建立函数模型，综合运用已有知识解决问题.问题的难点在于已知数据多，很难理清头绪；再者数据间相互制约，列式也需仔细.

四、统计型应用题

统计知识在现实生活中有着广泛的应用，要求同学们学会深刻理解基本的统计思想，善于提出问题，考虑抽样，收集数据，分析数据，作出决策，并能进行有效地交流、评价与改进.以统计图为基础，从中获取信息来分析问题，用数字说话，而不是停留在单纯的观察上.

因此，该班平均每人捐款13.1元.

点评：本题是以“最美女教师”张丽莉抢救学生为背景设计的统计类应用问题.考查了同学们建立统计模型的能力，即注重所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术的联系，体会统计对制定决策的重要作用.注重同学们数据处理的全过程，根据统计结果做出合理的判断，读懂和利用图表信息是解决问题的关键.

五、概率型应用题

概率是日常生活中的常见现象，同学们要学会用概率的观点观察、分析问题，走出凭主观臆想做出决策的误区.在概率问题中，要灵活应用基本模型（类似代数中的公式与几何中的基本图形），模型理解透了，自然就提高了运用水平与解决问题的能力.

例5 （四川资阳）为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的一个游戏：口袋中有编号分别为1、2、3的红球三个和编号为4的白球一个，四个球除了颜色或编号不同外，没有任何别的区别. 摸球之前将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛.先甲摸两次，每次摸出一个球；把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一个球.如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分；如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则，乙得0分；得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来.

六、几何型应用题

几何应用题内容丰富，诸如测量、取料、裁剪、方案设计、美化设计等.解答此类问题的一般方法是认真分析题意，将实际应用问题借助于几何图形做出直观解释，并将几何图形中的数量关系加以概括和抽象，再利用相关的数学知识分析并解决问题.

七、方程（组）、不等式（组）、函数等复合型应用题

复合应用题常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题. 解决这类问题需要利用数量关系，列出关系式，然后运用函数、方程、不等式等知识加以解决，尤其是函数最值用的较多.复合应用题不管是从内容还是从思想方法上都体现了应用的观念与意识.

例7 （黑龙江鸡西）为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元.

（1）若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？

点评：本题是以购买甲、乙服装的方案为背景而设计的复合型应用问题.解决好这类问题，关建是建立恰当的方程、不等式、函数关系式.通过复合应用题间的联系对比，可以加深同学们对这类应用题的结构、分析推理方法的理解，从而较快地掌握复合应用题的解答方法，进一步进行迁移应用.