球尺寸偏差对深沟球轴承载荷分布的影响

2013-07-22周夕维徐华熊显智王琳

轴承 2013年9期

周夕维，徐华，熊显智，王琳

(西安交通大学现代设计及转子轴承系统教育部重点实验室，西安 710049)

滚动轴承载荷分布是轴承刚度、疲劳寿命、润滑特性等计算分析的基础，因此，研究轴承的载荷分布具有很高的实际应用价值[1]。自1907年Stribeck利用 Hertz 接触理论建立深沟球轴承在径向载荷下的静力学分析模型并得出钢球所承受的最大载荷与径向载荷之间的关系以来[2]，许多学者在轴承载荷分布方面进行了大量的研究与探索。1933年Sjoväll提出了一个同时承受径向与轴向载荷的深沟球轴承静力学分析模型[3]。1962年，Rumbarger建立了止推轴承的数学模型，分析了不对心轴承的应力与变形关系[4]。Harris采用切片法研究了不同素线形状以及滚子倾斜时轴承的载荷分布情况，并对各类轴承内部接触进行了详细地讨论[5-6]。文献[7-8]研究了不同游隙下轴承的载荷分布情况及其对疲劳寿命的影响。20世纪70年代以来，有限元法的完善与发展以及计算机性能的大幅提升，使得考虑支承体弹性下的轴承载荷分布分析变成了现实[9-13]。

然而，上述针对轴承载荷分布的研究均是以忽略轴承零件的加工制造误差为前提进行的。实际加工中不可避免地存在加工误差(尺寸误差、形状误差等)，文献[6,14-15]表明轴承零件的加工误差会影响轴承的振动、温升、疲劳寿命等性能指标，因此研究加工误差对轴承载荷分布的影响具有一定的实际应用价值。文献[16]建立了考虑滚动体尺寸偏差影响的圆柱滚子轴承载荷分布计算模型。下文针对深沟球轴承实际加工过程中的尺寸偏差，研究球尺寸偏差对轴承载荷分布的影响。

1 模型建立

接触模型计算过程中需进行如下假设：

(1)外圈固定约束，内圈仅在径向载荷平面内发生位移；(2)内、外圈具有理想的几何形状，且视为刚体；(3)内、外圈仅在与球接触的区域发生弹性变形； (4)忽略球和沟道表面粗糙度的影响。

深沟球轴承在外载荷作用下，内圈中心O以及球心Oj的位置都会发生相应的变化。由于球存在尺寸偏差，此时内圈中心的位移不一定沿着载荷作用方向。深沟球轴承整体坐标系及球的编号如图1所示，其中下标j表示球的编号，ψ表示球位置角。

图1 整体坐标系及球编号示意图

外载荷作用前后，j号球球心与内圈中心的位置变化情况如图2所示。在外载荷作用下，内圈中心由O平移至O′处，沿x方向位移为u，沿y方向位移为v。因为整个内圈视为刚体，所以内圈沟曲率中心存在与O相同的位移。球在接触载荷作用下发生弹性变形，表现为其中心Oj沿着接触载荷方向移动至O′j。由于外圈固定且视为刚体，故载荷作用前、后外圈中心及沟曲率中心位置均未发生改变，故在图2中未予标示。

图2 j号球中心位移示意图

2 几何分析与接触载荷计算

2.1 接触判断

根据移动前、后球心与内圈中心的相对位置关系，可以将整个移动过程分为3个阶段，对该球进行接触判断与接触载荷计算。

(1)初始状态。此时，内圈中心为O，球心为Oj，球刚刚与内圈接触，但未发生弹性变形，则

OOj=(F+ΔDwj+Dw)/2 ，

(1)

式中：F为内沟道直径；ΔDwj为第j个球直径尺寸偏差；Dw为球公称直径。

考虑游隙后的内、外圈沟道直径为

式中：Dpw为球组节圆直径；Gr为径向游隙；E为外沟道直径。

(2)

式中：ψj为球位置角。

2-u]2+[(E-Dw-ΔDwj+

(3)

2.2 滚动体载荷计算

对球轴承而言，滚动体载荷与位移之间存在如下关系

Q=Kδ3/2，

(4)

式中：Q为接触载荷；K为位移-载荷常数，可利用迭代法精确求解；δ为球与沟道的弹性趋近量。

球与内圈的接触变形量为

(5)

将(1)～(2)式代入(5)式即可得关于δij，δej的二次方程。由于球与内、外圈的接触应力相等(Qij=Qej)，因此(5)式可简化为关于δij的方程。将δij代入(4)式即可得滚动体载荷。

2.3 平衡方程

根据接触载荷求解结果，校核内圈力平衡方程

(6)

若‖(f1(u,v),f2(u,v))‖∞<ε,

(7)

成立，则满足内圈力平衡条件，其中ε为平衡迭代收敛判据，一般取0.01。

3 方程组求解

首先，利用迭代法求解各球与内、外圈的载荷-位移常数Kij和Kej；然后给出内圈中心位移初值(u,v)，根据中心位移初值计算出接触载荷Qij，校核内圈平衡方程。若平衡方程满足迭代收敛条件，即(7)式，则迭代结束；若不满足，则利用Newton-Raphson法修正内圈中心位移迭代初值。Newton-Raphson法迭代初值的修正方法为

(8)

式中：uN，vN为第N次迭代时内圈中心位移值；uN+1，vN+1为第N+1次迭代时内圈中心位移值。

4 算例与分析

以6008深沟球轴承为例进行分析。轴承的主要结构参数为：Dpw=54 mm，Dw=6.35 mm，Z=15，内沟曲率系数fi=0.52，外沟曲率系数fe=0.52。轴承材料为轴承钢，弹性模量E=206 GPa，泊松比ν=0.3。设径向游隙为20 μm，球直径最大变动量为+5 μm。

4.1 单个球尺寸偏差对载荷分布的影响

定义球不存在尺寸偏差下的载荷分布为标准载荷分布，考虑球尺寸偏差计算所得载荷分布为实际载荷分布，对应球上实际载荷减去标准载荷称为球的载荷变动量(以下简称载荷变动量)。为使图形表达更加清晰，文中仅给出受载球的接触载荷及其变动量的计算结果。

4.1.1 尺寸偏差值对载荷分布的影响

为考察球尺寸偏差对载荷分布的影响，取径向载荷Fr=6 kN，对只有4#球存在1～5 μm尺寸偏差时的载荷变动量进行计算，结果如图3所示。

图3 4#球尺寸偏差对载荷变动量的影响

图3给出了所有受载球(1#～7#)的标准载荷及载荷变动量。从图3可以看出，与标准载荷相比，随着球尺寸偏差值的增大，4#球载荷增大，1#～3#，5#～7#球载荷减小；而载荷变动量均逐渐增大。其原因是随着4#球球径与周围球球径差距的增大，其承受的接触载荷越来越大，而周围球分担的载荷越来越小。进一步从图4可以看出，各球的载荷变动量与4#球的尺寸偏差值呈线性关系。

图4 各受载球的载荷变动量与4#球尺寸偏差的关系

4.1.2 尺寸偏差球的位置对载荷分布的影响

取径向载荷Fr=6 kN，球尺寸偏差为5 μm，研究尺寸偏差球的位置对载荷分布的影响。考虑到1#～3#球与5#～7#球关于4#球对称，因此，仅对尺寸偏差在1#～4#球上时分别进行计算，结果如图5所示。

从图5可以看出，尺寸偏差球存在最大载荷变动量，且始终为正。在尺寸偏差球顺、逆时针90°范围之内，与其相距越远的球的载荷变动量越小，且这种载荷影响的传递关系关于尺寸偏差球呈对称分布。据此可知，以尺寸偏差球位置为中心，周向正、负90°范围内的其他受载球的载荷变动量为负，且间隔角度越大，载荷变动量绝对值越小；而周向正、负90°范围之外的受载球的载荷变动量为正，且间隔角度越大，载荷变动量越大。如图6所示。

图5 尺寸偏差球位置对载荷变动量的影响

图6 尺寸偏差球影响区域示意图

从图7可以看出，尺寸偏差球沿沟道运动一周的载荷变动量的分布与轴承载荷分布曲线呈现相同趋势，即载荷变动量仅存在于载荷角范围内，且承载越大的区域，载荷变动量越大。由此可以推断，仅当尺寸偏差球位于载荷角范围之内时，才会对轴承载荷分布产生影响。

图7 载荷变动量随周向位置的变化

4.1.3 不同外载荷作用下球尺寸偏差对载荷分布的影响

当4#球尺寸偏差为3 μm，径向载荷Fr=1～10 kN，分析各受载球的载荷变动量。

与球尺寸偏差量和载荷变动量之间所存在的线性关系不同，径向载荷与载荷变动量之间存在较明显的非线性关系。从图8可以看出，随着外载荷的增大，载荷变动量呈增大趋势，但是增幅趋于平缓。这表明随着外载荷的增大，球尺寸偏差对载荷分布的影响呈逐渐减弱的趋势。

图8 载荷变动量随外载荷的变化

4.2 多个球存在尺寸偏差对轴承载荷分布的影响

4.2.1 尺寸偏差球分布位置对载荷分布的影响

取球尺寸偏差均为3 μm，径向载荷Fr=6 kN，分析尺寸偏差球的分布位置对载荷分布的影响。尺寸偏差球的分布如图9所示。

图9 尺寸偏差球分布示意图

尺寸偏差球的分布位置对载荷分布的影响如图10所示。对4#球而言，虽然其尺寸偏差始终为3 μm，但由于其余尺寸偏差球的分布位置不同，导致4#球的载荷变动量也有所不同。因此，球的载荷变动量不仅与自身的尺寸偏差有关，也与其周围球尺寸偏差大小及相对位置有关。当尺寸偏差球为间隔3和4个球分布时，计算结果完全一致，是因为此时两种分布的承载区内球的情况相同。

4.2.2 球尺寸偏差相对大小对载荷分布的影响

在径向载荷Fr=6 kN下，以4#球为起始，同种情况下各球尺寸偏差按递减规律分布时(表1)，载荷分布的计算结果如图11所示。

图10 尺寸偏差球分布位置对载荷分布的影响

表1 球尺寸偏差递减分布 μm

图11 球尺寸偏差递减分布对载荷分布的影响

从图11可以看出，随着球尺寸偏差的增大，球的载荷变动量线性增大，与单个球变化的结论一致。对于4#球，随着其尺寸偏差的增大，其载荷变动量由正变负，这主要是由于其周围球(1#～3#，5#～7#)的尺寸偏差亦在增大，且相对增幅大于4#球。因此随着球尺寸偏差的增大，4#球的接触载荷逐渐减小；而对于尺寸偏差最小的球(1#，7#)，接触载荷随其尺寸偏差的增大而增大，且具有最大的载荷变动量。

在径向载荷Fr=6 kN下，以4#球为起始，同种情况下各球尺寸偏差按递增规律分布时(表2)，载荷分布的计算结果如图12所示。