高速球轴承非线性方程组的变尺度微粒群算法及应用

孙北奇，于晓凯，杨虎，徐俊，屈驰飞

(洛阳轴研科技股份有限公司，河南 洛阳 471039)

在科学技术和工程应用中，如机械设计、固体计算力学、天气预报及控制领域等非线性方程组的求解仍是难题之一[1]。N-R算法存在收敛性依赖于初值，不适的初值将导致算法失效；N-R的修正形式虽扩大了收敛范围，但惯性因子难以选取，往往收效甚微；非线性方程组的区间Newton算法虽然具有收敛性不依赖初值，较点Newton算法具有更好的全局收敛性，且具有事后误差的估计功能，但区间迭代程序的计算量要比点迭代大很多，实用效果不好。

为此，需要找到一种应同时具有全局收敛性和收敛性不依赖于初值特性的算法。以往的研究中，将粒子群算法与混沌计算相结合[2]，或应用遗传算法[3]进行了广泛研究并取得了很多成果。但是，以上各种算法仅适用于求解一般的非线性方程组，而在求解根差异大(如x=[10 000,2,0.03])的非线性方程组时，各种微粒群算法均存在种群多样性及早熟问题，特别是在求解大根差异的高速球轴承非线性方程组时更是如此。因此，探索微粒群算法在大根差异高速球轴承非线性方程组的改进形式具有重要意义。

下文把非线性方程组转化为智能优化问题后，通过尺度变换保持了极小值点在新坐标系中的相对位置，改变了群体的期望输出，从而彻底改善了微粒群算法在种群多样性不适时易陷入早熟的问题。

1 微粒群算法对根差异大的不适应性分析

设优化问题表述为

minf(x)=f(x1,x2,…,xn) ，

(1)

其中，x∈S⊂Rn，(S为约束域；R为n维有理数集合)。

微粒群算法(PSO)[4]是通过某种群体搜索现象的简化模拟而设计的，每个微粒的学习进程由个体认识和社会认识两部分组成。当每个微粒在个性和社会性之间达到一定的平衡时，每个微粒才能不断从群体环境中获取足够多信息来调整自身的行为[5]。因此，如果想从根本上改善微粒群算法的性能，就应当从个体认识和社会认识去考察算法模型。考虑到优化问题，则可以将目标问题的全局解视为群体系统的期望输出：一是希望群体在寻优过程中具有个性，以较大概率收敛于目标问题的全局解；二是希望每个微粒不脱离群体，具有一定的社会性，即每个微粒从群体感知有效的群体状态信息并正确调整自身的行为。

根据上述分析，对于函数形式f(x,y)=x2+(y-25 000)2,x,y∈[-50,100 000](此函数在[x,y]=[0,25 000]时取得最小值)，由于目标函数的期望输出为[0，25 000]，从根本上决定了算法在搜索过程中每个个体的差异性过大，种群多样性过高，使每个微粒不能从群体中感知有效的群体信息来调整自己，导致算法不能较好地收敛于极小值点。

为此，应改善种群多样性，提高每个微粒的个体认识和社会认识，以提高算法的收敛性。

2 变尺度微粒群优化算法

2.1 变换原理

尺度变换技巧能显著地改进几乎所有极小化方法的收敛性质[6]。对于一般的优化问题

minf(x)=f(x1,x2,…,xn),s.t.x∈S⊂Rn。如果进行尺度变换x←x′β，其中

则在新的坐标系中，原优化问题可转化为

minf(x)=minf(x′β)=ming(x′)，

s.t.x′∈S⊂Rn。

尺度变换没有改变极小值点在新坐标系中的相对位置，因此这种转换是等价转换。这样的变换可以改变群体的期望输出，从根本上改变群体在进化过程中种群的多样性。

应用上述方法时，需先将非线性方程组转化为智能优化问题。

考虑含n个未知量n个方程的非线性方程组一般形式是

(2)

将a=(a1,a2,…,an)T作为非线性方程组(1)的一组解。构造优化问题的目标函数为

(3)

其中，x=(x1,x2,…,xn)T。

将求解非线性方程组转化为求解目标函数极小值。给定目标函数收敛停止标准，在求解区域内搜索a=(a1,a2,…,an)T，使得Φ(a)<ε，则a是(2)式的一组近似解。

2.2 算法的步骤

针对上述优化问题，变尺度微粒群优化算法的主要步骤为：

(1)调整种群期望输出，利用目标函数的信息，选取尺度变换矩阵β，将群体期望输出X转变为X′，优化函数转换为g(X′)；

(3)计算各微粒的适应值g(X′)；

(4)对于每个微粒，将其适应值与所经历过的最好位置Pi的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前最好位置；

(5)对每个微粒，将其适应值与全局所经历的最好位置Pg的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前的全局最好位置；

(6)根据标准微粒群算法进化方程，对微粒的速度和位置进行进化；

(7)如未达到收敛标准，则返回第2步继续计算；

(8)利用尺度变换矩阵β进行矩阵反变换，得出原优化问题的解。

3 计算与验证

为了验证上述方法的有效性，以下面几个根差异较大的非线性方程组为例，通过计算机仿真评价比较微粒群算法和变尺度微粒群算法的可靠性。

例1：

例2：

以上两组非线性方程组的根差异性较大，例1的精确解x=[10 000,2]，例2的精确解x=[10 000,1]。不同方法求解得到的成功率(ε<10-6，算法求解成功)的对比情况见表1。

表1 收敛可靠性对比 %

以上结果表明，在求解根差异较大的高速球轴承非线性方程组时，变尺度微粒群算法要比基本微粒群算法和拟Newton算法的成功率高很多，这主要是变尺寸改善了微粒群的种群差异性，增强了每个微粒的搜索能力。

4 算法应用

高速球轴承的受载变形(微米级)量和轴承几何参数(厘米级)属于典型的大根差异问题，其参数相互耦合且数量与球数成正比，应用传统的Newton法与粒子群算法求解均不能得到较好的收敛效果，进而对轴承关键参数，如内、外接触角的计算造成困难。高速球轴承往往用于轴向受载的工况，其计算式[7]为

(A1-X1)2+(A2-X2)2-[(fi-0.5)Dw+δi]2=0，

式中：A1为内、外圈沟道沟曲率中心间的轴向距离，A1=(fe+fi-1)Dwsinα+δi，mm；A2为内、外圈沟道沟曲率中心间的径向距离,A2=(fe+fi-1)Dwcosα，mm；X1为球心终位置与外圈沟道沟曲率中心在x轴方向的投影，mm；X2为球心终位置与外圈沟道沟曲率中心在y轴方向的投影，mm；fi为内圈沟道沟曲率(无量纲)系数；fe为外圈沟道沟曲率(无量纲)系数；Dw为钢球直径，mm；δi为内圈与钢球中心之间的变形量，mm；δe为外圈与钢球中心之间的变形量，mm；Mg为钢球的陀螺力矩，N·mm;Fa为轴承所受的轴向载荷，N；Ki,Ke为载荷-位移常数；λ为套圈控制系数，对于外沟道控制，取λi=0,λe=2，否则取λi=λe=1。其中A1，A2，X1，X2，δi和δe为未知数，其他参数可由轴承结构参数直接得到或根据转速等条件求得。

利用文中所述方法对B218轴承的接触角进行求解计算，结果如图1所示。该结果与文献[7]中的数据完全一致，其收敛可靠性达到96%。

图1 轴向受载高速球轴承的计算结果

5 结束语

在综合分析考虑微粒群算法与变尺度的各自特点后，将变尺度的方法引入到微粒群算法中，增强了算法的优化性能，并用以求解非线性方程组，克服了初始点难确定的弊端，同时提高了算法的收敛可靠性与求解精度，经典型方程和典型工程实际问题的求解验证，证实了该方法的正确性和有效性。