球笼式等速万向节接触应力分析及钢球数的优化

石宝枢，姜大杰

(浙江众达传动股份有限公司，浙江 金华 321025)

等速万向节传动轴总成的应力分析、载荷计算和结构设计是一项较复杂的系统工程。设计者总希望作出最优的设计方案，使所设计的传动轴总成具有最好的使用性能和最低的制造成本，以获得综合的、最佳的技术经济效益。而等速万向节传动轴总成的核心部分——球笼式等速万向节，要求在满足各种使用性能和可靠性的前提下，有最小的几何尺寸、空间体积、质量和最低的材料消耗，以利于主机的总体布置，使承载扭矩、寿命、可靠性、结构主参数等实现科学、合理的匹配。

现在广泛应用的传统六沟道球笼式等速万向节的设计仍然停留在测绘国外样品的逆向设计阶段。经系统、深入的机理分析，并由试验和长期的使用结果证明，由此设计的等速万向节至少存在如下不足：(1)由于没有经过优化设计，主要零件间接触应力和寿命相差悬殊，可靠性较低；(2)几何尺寸过于庞大，若用于汽车等速万向节传动轴总成，会使整车的前桥布置出现困难；(3)质量较大，材料消耗较多，经济性差；(4)为使应力平衡，只能盲目地增加某个零件的几何尺寸，出现总体外形尺寸再次加大的不合理现象。

下文通过对球笼式等速万向节接触应力的分析与计算，进而对其结构进行创新设计，在保证满足工作要求的前提下，有效减轻了万向节的质量。

1 两回转体间的接触应力分析与计算

两回转体在未受载荷时呈点接触状态，当其受法向载荷P的作用后，接触点处由于局部变形而呈椭圆面的接触。由微分几何知，曲面上某点沿不同方向的曲率是不同的，其最大值和最小值称为主曲率，所在的平面为主平面。

两回转体接触时的主平面与曲率半径如图1所示。设κ11，κ21分别为回转体1，2通过接触点处的最大曲率；κ12，κ22分别为回转体1，2通过接触点处的最小曲率；φ为κ11和κ21所在的主平面之间的夹角，其值与回转体的相对位置有关；A，B，C为与两回转体主曲率和变形性质有关的常数。则接触椭圆的方程为[1]

Ax2+By2=C，

(1)

(2)

(3)

κd=κ11+κ12+κ21+κ22，

(4)

κΔ1=κ11-κ12，

(5)

κΔ2=κ21-κ22，

(6)

式中：κd为曲率和。

图1 两滚动体接触时的主平面与曲率半径

当曲率中心在回转体内部(凸曲面)时，对应的曲率为正；反之，当曲率中心在回转体外部(凹曲面)时，对应的曲率为负。球笼式等速万向节中涉及的回转体的2个主平面是正交的，且相接触的两回转体的对应主平面的夹角φ=90°。

两回转体接触时的应力分布如图2所示。由弹性力学知，点接触回转体的法向接触应力在接触椭圆上按半椭球分布，椭圆中心(初始接触点)处的接触应力最大，最大接触应力σH及接触区内的任意点(x，y)处的接触应力σH(x，y)分别为

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：ν1,ν2分别为回转体1，2材料的泊松比；E1，E2分别为回转体1，2材料的弹性模量，MPa；n1，n2为与接触点各曲率有关的系数；a，b为接触椭圆的长、短半轴，mm。

图2 两回转体接触时的应力分布

2 球笼式等速万向节的接触应力分析

由于球笼式等速万向节钟形壳、星形套、钢球等主要零件均由钢质材料制成，一般ν1=ν2=0.3，E1=E2=208 GPa，因此，球笼式等速万向节中两接触回转体的最大接触应力为

(11)

(12)

(13)

式中：Dw为钢球直径。

两回转体的总变形量

(14)

式中：n1，n2，KP由曲率系数cosτ查文献[1]表3-19得到。

(15)

当φ=90°时，则有

(16)

球笼式等速万向节的工况是钟形壳和星形套沟道均同时与钢球共轭接触，星形套承受的应力最大[2]，是薄弱环节；因此，只需计算星形套的接触应力并对其进行强度校核即可。

钢球与星形套和钟形壳的接触原理如图3所示。单个钢球承受的法向载荷P与转矩T的关系为

(17)

式中：Z为钢球数；α为钢球与沟道的接触角，(°)；R为球组节圆半径，mm。

图3 钢球与星形套和钟形壳的接触

钢球与星形套的曲率和κd为

(18)

(19)

(20)

式中：XL,XP分别为沟道纵(沿轴线)、横(垂直于轴线)截面的相似度；ε为偏心角，一般ε=8°～9°，常取ε=8.5°；f为钢球与星形套沟道的贴合系数，一般f=1.03～1.05；rij为第i(i=1,2)个回转体在第j(j=1,2)个主平面内的曲率半径。

则星形套的最大接触应力为

(21)

(22)

(23)

钢球与星形套间的总变形量δ0为

(24)

由于球笼式等速万向节的钢球与星形套和钟形壳均为点接触，基本是静态运转工况，其许用接触应力[σH]和永久变形量δ1间的经验关系式为

(25)

在最大接触应力处应满足

(26)

[σH]的计算值与文献[1]表3-20的值有误差时，取较大值。

因此，静态许用转矩[T]可由下式得到

(27)

3 实例计算

某球笼式等速万向节，已知Dw=18.256 mm，Z=6，R=32.25 mm，α=45°，ε=8.5°，f=1.04。试求其静态许用转矩[T]及其在T=1 200 N·m时的最大接触应力及对应钢球直径的约束条件。

(1)静态许用转矩的计算。将上述参数分别代入(19)式和(20)式，得

XL=0.246 8，XP=-0.961 5。

由(23)式得曲率系数为

cosτ=0.940 09，

由文献[1]表3-19查得n1n2=1.58。

由(22)，(25)～(26)式(δ1/Dw=1×10-4)得静态许用接触应力为

[σH]=4 178 MPa。

由(27)式得静态许用转矩为

[T]=3 142 845(N·mm)≈3 143 N·m。

(2)T=1 200 N·m时的最大接触应力及对应钢球直径约束条件的求解。由(21)式得最大接触应力为

σH=3 031(MPa)<[σH]。

由(21)式得钢球直径的约束方程为

(28)

式中：Tc为计算转矩，一般Tc=1.67T。因此， 这里Tc=2.004×106N·mm。

若钢球数Z=6，由(28)式得钢球直径的约束条件为

若钢球数Z=7，由(28)式得钢球直径的约束条件为

13.496(mm)。

4 钢球数(沟道数)的优化

4.1 钢球数对载荷的影响

基于上述实例，如果钢球直径不变，仅改变钢球数量(钢球数由6粒改为7粒)，可使静态许用转矩提高16.67%。

若额定转矩不变，钢球数由6改为7，显然钢球直径减小7.4%，壳体外径减小7.4%，可使球笼式等速万向节总质量减小20%。

4.2 钢球数对几何结构设计的影响

若仅考虑钢球一个因素，钢球直径越大，数量越多，球笼式等速万向节承载能力越大。但由于受到空间和尺寸的限制，钟形壳、星形套及保持架相互制约和影响；因此必须使钢球直径和数量实现科学、合理、最佳的匹配，从而使整个球笼式等速万向节的综合性能达到最优。

星形套沟道的截面如图4所示。由于钢球的主要功能是传递扭矩，显然，当星形套沟道的凹面面积Si与对应的凸面面积Se相等或接近时，才是最优化的几何设计效果。

图4 星形套沟道截面

现以上面计算实例中的球笼式等速万向节星形套为例，对Si和Se分别进行求解(图5)。

图5 星形套某沟道截面面积的求解原理图

已知钢球直径Dw=18.256 mm，沟道截面为圆弧形，其半径R1=9.22 mm,球组节圆直径为64.5 mm，显然沟道中心半径为

Ri=64.5×0.5+9.22-18.256×0.5=

32.342(mm)。

星形套外球面直径为59 mm，沟道与外球面偏心距为4.8 mm，则通过沟道中心的截面为椭圆，由于偏心距与外球面直径相差较大，可视通过沟道中心的截面为圆，其半径约为

沟道截面圆弧R1=9.22 mm与R2=29.9 mm圆弧的交点A，B可由如下方程组求得

解之得A，B的坐标分别为(-8.461，28.678)，(8.461，28.678)，单位为mm。

则θ=2arctan(8.461/28.678)=32.876°，θ1=2arctan[8.461/(32.342-28.678)]=133.170°。

则弓形ACB，AEB的面积S1和S2分别为

28.678)=67.789(mm2)。

所以，Si=S1+S2=13.844+67.789=81.633(mm2)。

如图4所示，通过星形套沟道中心的外球面截面可近似为圆，若干沟道底部最低点组成另一个圆，这2个同心圆组成的圆环面积为

S=π[29.92-(32.342-9.22)2]=

1 129.035(mm2)。

(31)

若Z=6，则Se=106.540(mm2)；

若Z=7，则Se=79.658(mm2)；

若Z=8，则Se=59.496(mm2)。

由此计算分析可知，只有当Z=7时，Se与Si最接近，即只有钢球数(沟道数)Z=7时，球笼式等速万向节的设计结果最优。

注意到，目前出现了八沟道球笼式等速万向节的少量产品。经系统、准确的分析和验证，有如下主要缺陷：(1)若钢球直径不变，Se与Si相差悬殊，显然，星形套和钢球接触应力和寿命严重不平衡；(2)保持架的外形尺寸一定，由于几何布置的原因，必然导致8个均布的窗孔长度过小，影响钢球的工作行程，使球笼式等速万向节的极限转角较小；(3)若要改变这种状况，只有将钢球直径大幅度减小，但相应的保持架壁厚过小，冲击时易碎；(4)额定载荷过小，满足不了球笼式等速万向节的寿命和可靠性等要求。所以，8个钢球不是最优化的设计结果，八沟道球笼式等速万向节不是最佳的选择。

5 结束语

经过上述的分析、计算和优化设计，创新设计出了一种全新的七沟道球笼式等速万向节，是等速万向节传动轴产品和技术的重大突破。经各种性能试验表明，性能、寿命、可靠性等主要技术和质量指标较六沟道球笼式等速万向节显著提高，与上述分析、计算的结果非常吻合。与此同时，实现了产品的轻量化设计，获得了理想的、综合的技术经济效果。