基于前景和量子理论的模糊多属性决策方法

胡柏瑛，黄德才，陆亿红

浙江工业大学 计算机科学与技术学院 计算机应用技术系，杭州 310023

基于前景和量子理论的模糊多属性决策方法

胡柏瑛，黄德才，陆亿红

浙江工业大学 计算机科学与技术学院 计算机应用技术系，杭州 310023

1 引言

从广义上说，多目标决策包含多属性决策，处理多属性决策问题有许多方法，如TOPSIS方法[1]，多属性效用理论（Multiple Attribute Utility Theory）方法和PROMETHEE[2]方法等。在实际决策中，由于决策者的主观性和对事物理解的局限性以及决策问题的模糊性和不确定性，导致方案的属性值和属性权重等参数不准确、不确定或不完全确定[3]，因而当前研究的一个热点是模糊多属性决策。由于Zadeh模糊理论在表示上存在局限性，即使用一个隶属度参数来描述对象之间的关系，从而不能完全表达待研究问题的信息，学者们对其进行了拓展。其中得到广泛应用的是由保加利亚学者Atanassov在1986年提出的直觉模糊集理论[4-5]。直觉模糊集的核心思想是同时考虑隶属度、非隶属度和犹豫度三方面的信息，这使得它能对事物的描述提供更多的选择方式及更强的表现方式。但在实际操作过程中，人们发现难以用精确的实数来表示直觉模糊集的隶属度、非隶属度和犹豫度，而区间数则较容易确定。因此，Atanassov等人拓展了直觉模糊集，提出了区间直觉模糊集[6]的理论。目前主要研究其性质、运算及相关性等方面，对于属性权重信息不完全且属性值为区间直觉模糊数，并考虑决策者风险偏好的多属性决策问题，研究得较少。在实际决策行为中，决策者通常对于方案存在主观上的风险偏好。因此，在模糊多属性决策模型中考虑决策者的风险心理因素，便显得非常重要。

现有决策模型通常是建立在预期效用理论[7]的基础上，这是一种绝对理性的决策方式。该理论的核心思想是认为所有决策者都是“纯粹理性”，在备选方案已定的情况下，备选方案的吸引程度用期望效用来表示，效用最高的备选方案为最优方案，即期望效用最大化。但人并非绝对理性，人类复杂的心理机制会对决策行为产生影响。这使得期望效用理论无法解释所有实际决策现象，对人的风险决策描述性效度也备受怀疑。Tversky和Kahneman通过调研，搜集了许多个体决策数据，发现人在模糊环境下的判断与决策常常会偏离传统理性假设，而这些偏差具有一定的规律性。他们提出的前景理论（Prospect Theory）[8]是对期望效用理论的巨大挑战，在一系列的实验研究及算法改进后，前景理论解释了期望效用理论所不能解释的决策现象。在模糊决策环境下，使用前景理论替代期望效用理论作为决策基础，更符合人类实际的决策行为。目前，该理论已广泛应用于行为金融学[9]、外交[10]、交通路径选择[11]中。

此外，本文采用量子进化算法来求解基于前景理论的非线性规划决策模型。量子进化算法（Quantum Evolution Algorithm，QEA）[12]是一种新型的基于量子理论的仿生物算法，与经典的进化算法（EA）相比，QEA具有如下优点：群体规模较小而不影响算法的性能；更好的多样性和全局寻优能力；在进化过程中利用了个体过去的历史信息等等。

本文基于以上研究，将前景理论和量子进化算法引入模糊多属性决策，提出了权重信息不完全的区间直觉模糊多属性决策方法。最后的算例分析验证了该方法的有效性和合理性。

2 前景理论及相关定义

前景（Prospect）表示不确定事件。前景理论中的前景价值由决策权重函数和价值函数共同决定[13]，即

其中，V为前景价值；π(p)为决策权重函数，是判断概率p的单调递增函数；v(x)为价值函数，是基于决策者风险心理因素形成的价值。

Tversky等用幂函数表示价值函数，这种形式能很好满足决策者在面临收益时趋向风险规避和面临损失时趋向于风险追求的偏好特性，所以得到了广泛的应用，其具体表达式为：

其中，x是表面价值的收益或损失，收益为正，损失为负；α和β是风险态度系数，当0＜α＜1，0＜β＜1时，α、β越大则表明决策者越追求风险，当α=β=1时，决策者被认为是风险中立；θ是损失规避系数，当θ＞1时，表明决策者对损失更加敏感。

价值函数具有以下三个特性：

（1）收益和损失是基于参考对象而言，并非绝对的概念。即不同的参考对象会产生不同的数值；

（2）决策者面对收益时通常表现为风险规避，面对损失时则表现为风险偏好；

（3）相对于收益，损失会造成决策者更大的心理波动。

Tversky等给出的决策权重函数公式为：

其中，p为判断概率；π为考虑风险偏好的概率权重函数；γ为模型中的参数，根据实际情况赋予某一特定值。判断概率p由决策者给出，在某些风险偏好模糊的决策中，判断概率可能会违反概率二元互补关系。因此，在分析风险决策权重时，需要考虑由于决策者对模糊源的偏好及对未知概率事件的判断所产生的影响。

决策权重函数有以下特性：

（1）决策权重函数不是概率，π是p的递增函数。它不符合概率公理，也不能用来描述个人预期程度；

（2）当p很小且π(p)＞p时，表明决策者对小概率事件过度敏感；当p很大或适中且π(p)＜p，表明决策者忽略例行发生的事件，却过分注意极端的小概率事件。

决策者在面对风险决策时，通常不只考虑自己最终的财富水平，而是选择参考对象来比较是收益还是亏损。因此，可能会因为参考对象的选择不同，使得每次决策数据随之改变。

定义1设X是一个非空集合，称

为直觉模糊集。其中，uA(x)和vA(x)分别为X中元素x属于A的隶属度uA(x)⊂[0，1]和非隶属度vA(x)⊂[0，1]，且满足条件0≤uA(x)+vA(x)≤1，∀x∈X。p(x)=1-uA(x)-vA(x)表示X中元素x属于A的犹豫度或不确定度。

直觉模糊集的基本组成部分是由X中元素x属于A的隶属度区间和非隶属度区间组成的有序区间对构成，称之为区间直觉模糊数[14]。为了方便，把区间直觉模糊数一般形式记为([a，b]，[c，d])，其中[a，b]⊂[0，1]，[c，d]⊂[0，1]，b+d≤1；p(x)=1-uA(x)-vA(x)=[1-b-d，1-a-c]。

定义2两个区间直觉模糊数A1={[a1，b1]，[c1，d1]}与A2= {[a2，b2]，[c2，d2]}，如果

称d(A1，A2)=||A1-A2||为区间直觉模糊数A1和A2的距离。显然，d(A1，A2)越大，则A1和A2的距离就越大。特别地，当d(A1，A2)=0，有A1=A2，即A1和A2相等。

定义3两个区间直觉模糊数A1={[a1，b1]，[c1，d1]}与A2= {[a2，b2]，[c2，d2]}，若以模糊数A1为参考对象，则模糊数A2的前景价值函数为：

3 基于前景理论的信息不完全的模糊多属性决策步骤

对于一个权重信息不完全确定的区间直觉模糊多属性决策问题。设A={a1，a2，…，aN}为方案集，C={c1，c2，…，cΜ}为属性集。对方案ai∈A，按属性cj∈C进行测度，得到ai关于cj的属性值为区间直觉模糊数Xij=([aij，bij]，[cij，dij])，(i=1，2，…，N;j=1，2，…，Μ)，从而得到决策矩阵A= (Xij)N×Μ。试确定方案集A的排序。

上述决策问题的决策步骤如下所示：

步骤1选取参考对象

前景理论的核心之一是参考对象的选取。决策者在进行决策时，通过参照参考对象衡量收益或损失。科学研究表明，人在进行决策行为时更重视预期与结果的差距，而不是结果本身。因此，选择怎样的参考对象非常关键。

本文以正理想方案和负理想方案[14]作为参考对象。决策矩阵A=(Xij)N×Μ的正理想方案和负理想方案分别为：

正理想方案：

负理想方案：

步骤2确定各方案属性的收益值和损失值

由定义3可得到各属性值的前景价值函数：

由定义2中模糊数距离公式可得到方案到正理想方案与负理想方案的距离集：

以正理想方案为参考对象，方案ai劣于正理想方案。对决策者而言，他面临损失。根据前景理论，此时决策者倾向于风险追求。

以负理想方案为参考对象，方案ai优于负理想方案。对决策者而言，他面临收益。根据前景理论，此时决策者倾向于风险规避。

步骤3计算决策方案的正负前景值

将步骤2中的d(ai，G)和d(Ai，B)代入式（2）。

方案ai参照正理想方案，此时决策者面临损失。将d(ai，G)代入v(x)=-θ(-x)β，得到：

方案ai参照负理想方案，此时决策者面临收益。将d(ai，B)代入v(x)=(-x)α，得到：

由式（11）和（12）可得到方案的正前景矩阵v+和负前景矩阵v-。方案的综合前景值为正前景值与负前景值之和，即

其中：

为决策者面对收益时的前景价值，为决策者面对损失

时的前景价值；π+(ωj)为决策者面对收益时的前景权重函数，π-(ωj)为决策者面对损失时的前景权重函数；ωj为属性权重值。

步骤4确定权重及排序方案

对每个方案而言，其综合前景值越大越优。而方案的优劣只能在统一的标准之下才能作比较，因此各个方案的综合前景值必须基于同一个属性权重向量ω=(ω1，ω2，…，ωm)。为此，建立非线性规划模型，其目标函数表示为：

各方案之间属于公平竞争，不存在任何偏好关系。因此可得如下非线性规划模型：

其中H是属性权重的不确定信息集合。

4 使用量子进化算法求解模型

量子进化算法（Quantum-inspired Evolutionary Algorithm，QEA）由Han等学者提出，通过结合量子计算和进化算法得到的概率搜索寻优算法。其核心思想[15]是利用量子叠加态和量子相干等特性，在QEA中使用量子比特编码染色体，以当前最优个体的信息为进化导向，通过量子门更新来完成进化搜索，从而实现目标的优化求解。该算法与传统的进化算法相比，具有量子并行性、种群规模小、收敛速度快和全局寻优能力强等特点，本文采用该算法求解决策模型。

量子进化算法的流程为：

其中Q(t)代表第t代量子染色体群体，P(t)代表第t代二进制串集合。初始化种群时，所有的量子位都被设置为相同的常数，这意味一个量子染色体的所有可能叠加态以同等的概率出现。在“Q(t)生成P(t)”步骤中，从[0，1]产生一个随机数，如果它大于则取值1，否则取值0。在“更新Q(t)”步骤中，使用合适的量子门U(t)来更新量子染色体群体Q(t)，这样可以使量子染色体具有更好的适应度。一般情况下，量子门可根据实际情况来设定，常用的旋转门为：

式中θ为旋转角度（变异角度），它的取值可以事先设定，如文献[16]中均是根据一个各种情况下的查询表来取值，该表采用同样的处理方式对量子染色体的各个位进行操作。

5 数值算例

假设某军方欲采购火炮装配部队，主要考虑五项指标：（1）火力突击能力（C1）；（2）反应能力（C2）；（3）机动能力（C3）；（4）环境适应能力（C4）；（5）成本（C5）。现有四种系列火炮A={a1，a2，a3，a4}可供采购，每种火炮在各属性下的评估信息经过统计和处理后，可表示为区间直觉模糊数，如表1所示，采购部门应如何采购火炮。

为了确定最优方案，下面使用本文提出的方法来作决策。

步骤1建立区间直觉模糊决策矩阵

步骤2选取参考方案

基于得分函数与精确函数可得正理想方案G和负理想方案B，即

步骤3确定各方案属性的收益值和损失值

由定义2可得各方案与正理想方案及负理想方案的距离。

各方案到正理想方案的距离集为：

各方案到负理想方案的距离集为：

步骤4计算方案的正负前景值

将上述结果代入Tversky等[17]给出的价值函数（其中：α=0.88，β=0.88，θ=2.25)，即

可得负前景矩阵为：

可得正前景矩阵为：

步骤5使用量子进化算法确定最优权重

将上述正前景矩阵和负前景矩阵及式（14）和（15）代入优化模型式（17），其中γ和δ的值同样取文献[17]中的实验数据，即γ=0.61，δ=0.69。

（1）初始化种群

随机产生初始化种群Q(t)。Q(t)中的个体是所有状态等概率线性叠加，即所有个体的α和β均置为，且为了使待求的属性权重拥有2位精确度，为每个个体设置7位量子比特位。设置Q(t)中有5个个体。个体的表现形式为：

表1 方案属性偏好值

（2）观测Q(t)

对种群Q(t)进行观测得到观测种群P(t)，具体观测过程为：对每一个，若在[0，1]中产生的一个随机数小于，则值取为1，否则取为0，观测种群中个体均为确定的二进制串。

（3）修正算子

本决策模型属于有约束条件的，要求必须满足下列关系：

为了把有约束条件优化转化为无约束条件的优化问题，就需要对变量进行修正。

（4）评价及保存适应度值

对P(t)中每个二进制串进行适应度值评价并保存最优个体的信息。

（5）更新量子位状态概率

对种群中的每个量子比特，按量子旋转门进行量子门更新来实现种群的进化。若算法已经达到终止条件，则停止，否则进入迭代次数t=t+1。本文使用上面提到的量子旋转门进化个体。

（6）获取最优目标值

进行50次仿真实验，终止迭代次数为100代，设定群体规模为5。最终得到的最优权重为：

步骤6确定方案排序

各方案的最优综合前景值分别为：

按最优综合前景值从大到小的顺序排列，得到方案的排序：A2＞A4＞A3＞A1。排序结果和文献[18]中的排序结果完全一致。

6 结束语

由于前景理论能够更真实地描述人类在模糊环境下的决策行为，因此将其引入到模糊多属性决策中来。本文基于前景理论中价值函数和权重函数的性质，根据区间直觉模糊数距离公式给出区间直觉模糊数的前景价值函数定义，并将决策者的风险偏好纳入模糊多属性决策，提出一种权重信息不完全的基于前景理论和量子进化算法的区间直觉模糊多属性决策方法。该方法有机地结合心理学和管理决策过程，从决策者的风险心理因素出发，科学地描述了人们在模糊环境下的决策模式。本文提出的决策方法具有概念清晰、计算过程简单等特点，具有较高的实际应用价值。

[1]You T H，Fan Z P.TOPSIS method for multiple attribute decision making with intervals[J].J of Northeastern University，2002，23（9）.

[2]Guo Y，Qiu Z M.The PROMETHEE method in optimizing a number of selection schemes of naval gun weapon system[J]. Acta Amanentar，1999，20（2）：97-101.

[3]Wang Q Y，Liu Z Y.The conception，sort and mathematical expression of uncertainty information[J].Operations Research and Management Science，2001，10（4）：9-15.

[4]Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，20（1）：87-96.

[5]Li D F.Multiattribute decision making models and methods using intuitionistic fuzzy sets[J].J of Computer and System Sciences，2005，70（1）.

[6]Atanassov K，Gargov.Interval valued intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems，1989，31（3）.

[7]Von Neumann J，Morgenstern O.Theory of games and economic behavior[M].Princeton：Princeton University Press，1944：178-181.

[8]Kahneman D，Tversky A.Prospect theory：an analysis of decision under risk[J].Economica，1979，47（2）：263-291.

[9]李心丹.行为金融理论：研究体系及展望[J].金融研究，2005，26（1）：175-190.

[10]林民旺.前景理论与外交决策[J].外交评论，2006，23（5）：62-68.

[11]赵凛，张星臣.基于“前景理论”的先验信息下出行者路径选择模型[J].交通运输系统工程与信息，2006，6（2）：46-50.

[12]Narayanan A，Moore M.Quantum-inspired genetic algorithm[C]// Proc of IEEE International Conference on Evolutionary Computation.Piscataway：IEEE Press，1996：61-66.

[13]王坚强，孙腾，陈晓红.基于前景理论的信息不完全的模糊多准则决策方法[J].控制与决策，2009（8）.

[14]徐泽水，达庆利.区间型多属性决策的一种新方法[J].东南大学学报，2003，33（4）：498-501.

[15]Hey T.Quantum computing：an introduction[J].Computing& Control Engineering Journal，1996，10（3）：105-112.

[16]李映，焦李成.一种有效的基于并行量子进化算法的图像边缘检测方法[J].信号处理，2003，19（1）：69-74.

[17]Tversky A，Kahneman D.Advances in prospect theory：cumulative representation of uncertainty[J].J of Risk and Uncertainty，1992，5（4）：297-323.

[18]李光博.基于区间直觉模糊集的多属性决策方法研究[D].杭州：浙江工业大学，2010.

HU Boying,HUANG Decai,LU Yihong

Department of Computer Application Technology,College of Computer Science and Technology,Zhejiang University of Technology,Hangzhou 310023,China

This paper presents a multi-attribute sorting method applied to problem whose information on weights is partly known and attribute values are interval intuitionistic fuzzy numbers.The method is based on prospect theory and quantum evolution algorithm.According to prospect theory and fuzzy numbers’distance formula,it defines interval intuitionistic fuzzy numbers’prospect value function.Meanwhile,it brings decision makers’risk preference of project into decision-making behavior.The nonlinear programming model based on projects’comprehensive prospect value maximization can be constructed.By putting quantum evolution algorthm,the optimal weight vector of model can be solved.The projects’comprehensive prospect values determine the order.This method is applied to fuzzy decision making environment,can meet decision makers who do not provide determining attribute weights,and fully consider risk psychological factor’s influence on decision behavior.Thus it has wide range of application value.At the end,a numerical example shows the effectiveness and feasibility of the method.

prospect theory;quantum evolution algorithm;interval intuitionistic fuzzy number;multi-attribute decision-making

针对属性权重不完全确定且属性偏好值为区间直觉模糊数的多属性决策问题，提出一种基于前景理论和量子进化算法的模糊多属性决策方法。该方法根据前景理论及模糊数距离公式，定义区间直觉模糊数的前景价值函数，同时将决策者对方案的风险偏好纳入决策行为中，以此来构建方案综合前景值最大化的非线性规划模型。通过引入量子进化算法，求解模型得出最优权重向量。最终根据方案前景值确定出方案的排序。该方法适用于模糊决策环境，能满足决策者不提供确定属性权重的要求，并充分考虑决策者风险心理因素对决策行为的影响，具有广泛的应用价值。数值算例说明了该方法的有效性和可行性。

前景理论；量子进化算法；区间直觉模糊数；多属性决策

A

O159

10.3778/j.issn.1002-8331.1201-0094

HU Boying,HUANG Decai,LU Yihong.Fuzzy multiple attribute decision making method based on prospect and quantum theory.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：120-124.

国家科技重大专项专题（No.2009ZX07318-003-01）；浙江省科技厅重大科技项目（No.2009C11024）。

胡柏瑛（1988—），男，硕士，主要研究领域为模糊决策；黄德才（1958—），男，博士，教授，博士生导师，主要研究领域为模糊决策、数据仓库和数据挖掘；陆亿红（1968—），女，副教授，主要研究领域为软件理论、决策方法、数据挖掘等。E-mail：heyhby@gmail.com

2012-01-09

2012-05-24

1002-8331（2013）18-0120-05

◎图形图像处理◎