连续时间周期信号频域分析的MATLAB实现

韩晓霞，高月华，陈 雷

（河北大学电子信息工程学院，河北 保定 071002）

信号与系统课程是电气信息类专业学生的一门重要的专业基础课，周期信号的频域分析是信号与系统中的难点内容之一。本文以典型的周期矩形脉冲信号为例，介绍了周期信号频域分析的两种方法即傅立叶级数分析法和傅立叶变换分析法，并利用MATLAB软件，结合其图形用户界面接口（GUI），设计了具有良好人机交互界面的仿真软件，用以辅助课堂教学，不仅提高了教学效率，而且有助于学生掌握周期信号频谱分析的方法。

1 周期信号频域分析理论

周期信号是定义在（-∞，+∞）区间内，按一定时间间隔（周期T）不断重复的信号。可表示为f（t）=f（t+mT），式中m为任意整数，T为周期，周期的倒数称为该信号的频率。典型的周期信号如周期矩形脉冲信号（见图1），周期为T，脉冲宽度为τ。

周期信号可以分解成一系列正弦信号或虚指数信号之和，这些分量的幅度和相位随频率变化的关系称为周期信号的频谱，可分为幅度谱和相位谱。

图1 周期矩形脉冲

1.1 连续时间周期信号的傅立叶级数分析

在信号与系统理论中，满足狄里赫利条件的周期信号可以展开成傅立叶级数，傅立叶级数展开式有三种：

傅立叶级数展开的三种形式各有优点，式（1）便于进行傅立叶级数展开，式（2）是物理意义清楚的三角形式，式（3）是便于理论分析的指数形式。

下面利用指数形式的傅立叶级数对图1所示的周期矩形脉冲进行频谱分析，首先计算傅立叶系数 Fn：

周期矩形脉冲的指数形式的傅立叶级数展开式为

图2 周期矩形脉冲的频谱（T=4τ）

1.2 连续时间周期信号的傅立叶变换分析

周期信号的傅立叶变换在频域是由一串冲激所组成，各冲激的面积正比于傅立叶级数。一个周期为T的周期函数fT（t）的傅立叶变换FT（jω）的表达式为

上式表明，周期信号的傅立叶变换由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号各谐波角频率 nΩ（n=0，±1，±2……）处，其强度为各相应幅度Fn的2π倍。

下面利用傅立叶变换对图1所示的周期矩形脉冲进行频谱分析，式（4）为已求得的傅立叶系数Fn，将其代入式（6）得

图3 周期矩形脉冲的傅立叶变换（T=4τ）

比较图2和图3，虽然从频谱的图形上看很相似，但二者的含义不同，图2是将周期函数展开为傅立叶级数时的频谱，得到的是傅立叶系数与频率的关系，代表的是各频率分量的幅度和相位，而图3是对周期信号进行傅立叶变换时的频谱，得到的是频谱密度与频率的关系。

2 教学程序演示及实例仿真

在信号与系统的教学中，周期信号的频域分析始终是一个教学难点。为了更直观的展现周期信号的频谱，同时也为了使学生更好的理解理论知识，我们利用MATLAB开发了用于周期矩形脉冲信号频谱分析的交互式仿真程序，周期矩形脉冲信号的频谱随着其周期及脉冲宽度的变化而有所不同。通过此仿真程序可以直观地观察到这种变化。

（1）脉冲宽度与频谱的关系

将周期矩形脉冲信号的周期固定为10s，设定脉冲宽度分别为1s、4s，观察幅度谱的变化。

图4 周期矩形脉冲频谱随脉宽的变化

由图4可见，由于周期T相同，因而相邻谱线的间隔相同；脉冲宽度τ越窄，其频谱包络线第一个零点的频率越高，即信号频带宽度越宽，这就验证了信号的频带宽度与脉冲宽度τ成反比。

（2）周期与频谱的关系

将矩形脉信号脉冲宽度的固定为1s，设定周期分别为10s、15s，观察幅度谱的变化。

图5 周期矩形脉冲频谱随周期的变化

由图5可见，由于周期信号的时域脉冲宽度不变，这时频谱包络线的零点所在位置不变，而当周期变长时，相邻谱线的间隔减少，频谱变密。如果周期无限长（这时信号变为非周期），那么，相邻谱线的间隔将趋近于零，周期信号的频谱就过渡到非周期信号的连续谱。随着周期信号周期的增长，各谐波分量的幅度也相应减小。

3 结论

通过以上分析可以总结出周期信号频谱的特点。（1）离散性：周期信号的频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称为离散频谱；（2）谐波性：周期信号频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，这就是周期信号频谱的谐波性；（3）收敛性：各次谐波的振幅随着谐波次数的增高而逐渐减小，所以周期信号的频谱具有收敛性。我们把MATLAB引入信号与系统的教学当中，启发学生开发仿真程序，利用MATLAB强大的计算能力和绘图能力把周期信号的频谱图通过编程绘制出来，既帮助学生理解了理论知识，又锻炼了学生的实践能力。

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