基于一种序数群决策方法的方案排序＊

汪志宏 王 鹏

（陆军军官学院 合肥 230031）

1 引言

在现实生活中我们经常碰到对一组方案进行排序的问题，投票表决是经常用到的方法。投票表决方法［1］历史悠久，形式繁多，并且有效易操作。该方法实质是一种序数群决策方法，也就是由多个人共同作决策，利用相应的社会选择函数，将各成员的偏好集结成社会的偏好，从而确定方案的排序。利用Borda分排序的方法［1］就是一个典型的序数类群决策方法，它是将m－1，m－2，…，1，0分别赋值予m个方案中排在第一位、第二位直到最后一位的方案，然后统计各方案的得分，依分数大小排序。然而，利用Borda分排序常会遇到几种方案得分一样的情况，要将方案严格排序［3］，有必要对Borda函数进行改进。

2 一种类Borda函数

设有m个专家，n个方案，方案的集合为A＝｛x｝n。

定义2随机变量X的分布律为

定义3函数

定义4函数

3 相关结论

定理1各方案利用第1类Borda分进行排序同利用Borda分进行排序结果是一致的。

证明：方案x的第1类Borda分

定理2若两方案的第1类Borda分相同，只要其得票情况不完全一样，则它们一定可以利用第k（k＝2，3，…，n）类Borda分中的一个进行排序。

证明：假设方案a的赋值随机变量X的分布律为P｛X＝n－k｝＝pk，k＝1，2，…，n。方案b的赋值随机变量Y的分布律为P｛Y＝n－k｝＝qk，k＝1，2，…，n。则两方案的第1类Borda分差：

假设对于其它的类Borda分，也有相似的结果，即有方程组：

…，n，其中pj－qj，j＝1，2，…，n看作未知量。

方程组的系数矩阵为

利用范德蒙行列式［2］知系数矩阵有一n－1阶子式：

利用该函数进行群决策方案排序的一般方法：

1）根据专家偏好确定每个方案的各胜选票数；

2）求出每个方案赋值随机变量的期望，也就是第1类Borda分；

3）根据方案的第1类Borda分排序，若有几个方案的分相同，求其第2类Borda分，对这几个方案排序；

4）若再有几个方案的分相同，再求它们的第3类Borda分，直到全部排序完成为止。

4 实例

例 设有7个专家，将4个方案A＝｛a，b，c，d｝进行排序。已知他们的偏好次序为

满足a≻b≻c≻d的，2人；满足b≻c≻a≻d的，2人；满足c≻b≻d≻a的，1人；满足d≻a≻c≻b的，2人。

例题求解：

设a，b，c，d的赋值随机变量分别为X1，X2，X3，X4，所以四个方案得分分别为

方案a，b分数一样，结果是a～Gb≻Gd≻Gc。

方案a，b的第二类Borda分：

所以最终结果：b≻Ga≻Gd≻Gc。

5 结语

上文通过引入赋值随机变量的期望或其函数的期望引入类Borda函数，用严密的数学语言证明了利用函数排序的可行性，方法容易理解便于运用。

利用该群决策方法主要解决各方案得票情况不完全一样的排序问题，若排序中遇到两种或多种方案得票情况完全一样，可以将这两种或多种方案重投票然后综合排序。

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