非线性振动系统的混沌研究

崔晓光

0.引言

非线性动力学中的复杂性现象的发现及分岔和混沌理论的建立，被认为是当代的基础科学的重大成就之一，它使非线性科学有了可靠的理论保证，并激励众多的自然科学、工程学和数学工作者深入探索和研究。今天非线性科学正促使整个现代知识体系成为新科学，而动力系统、分岔、混沌和奇异性理论方法的发展也已超越原来数学的边界，广泛应用于振动、自动控制、系统工程、机械工程等部门非线性问题的研究，并且对经典力学、物理学、固体力学、流体力学、化学工程、生态学和生物医药，乃至一些社会科学部门的研究和发展都产生了深远影响。同时，科学世界的进一步深化反过来又促进非线性动力学数学理论的纵深发展。

混沌理论为研究自然界各种复杂现象提供了有效的途径，它构成了非线性动力学近代理论的基本内容之一。

1.研究混沌的主要非线性方法

1.1时间序列分析和相图法

由微分动力系统的定义可知一个微分系统的解沿着时间的方向定义了一条解曲线，即它表示了动力系统的状态变量随时间的历程。相图是系统的解在维相空间中描出的曲线，此曲线称为相轨迹。

画出了时间历程图和相图后，可以通过对比分析和综合以确定解的分岔和混沌现象。在相空间中，周期运动对应封闭曲线，混沌运动对应一定区域内随机分布的永不封闭的轨迹（奇怪吸引子）。但当动力系统的相空间的维数超过2或运动很复杂时，相轨迹可能混乱一片，很难看出规律和头绪，这是它的局限性。

1.2庞加莱截面法

法国数学家H. Poincaré利用几何的观点，对非线性动力学系统进行了深入的研究，总结出了该方法。

定义1：Poincaré映射

其中，τ=τ（q）是经q点的轨线首次回到所需的时间（一般而言， τ依赖于q，但不一定等于闭轨γ的周期T=T（p） ，但是当q→p 时，将有τ→T）。称为Poincaré截面，整个过程如图所示。

显然，p点为Poincaré映射的一个不动点"同时，由Poincaré映射的定义可知， Poincaré映射可由微分方程的通解求得。

当系统的运动为极限环运动时，在Poincaré截面上简化为一个不动点；当系统运动为周期运动时，在Poincaré截面上简化为n个点（称为周期n运动）；当系统的运动为准周期运动时，在Poincaré截面上则为沿一条直线段或一条曲线弧分布着的点的集合。因此Poincaré映射可用来判断一个系统是否为混沌系统。显然，它是一种比较直观的方法。这种方法对于判断一个三维非线性自治系统是否具有二维环面（对应的是准周期运动）特别有效，但是这种方法也有缺陷，不能很好的判断一个更为复杂的混沌系统究竟是否是混沌或准周期运动。

定义2： 频闪采样法

为了避免复杂运动在相空间中轨迹的混乱不清，类似庞加莱截面法，可以只限于观察隔一定时间间隔（称采样周期）在相空间的代表点。即不管连续运动的轨迹如何，用隔一定时间闪光一次的频闪（观察）法观察轨迹上的一部分代表点（称为采样点）。这样原来在相空间的连续运动就被一系列离散点p0、p1、p2、...所代表。

在通常情况下，变量总是取有限值，从而采样点是在一定区域内的一片密集点。如果采样点足够多，不断加大分辨力，可得到不断重复原分布形态的微细几何结构。这表明吸引子有不同层次的自相似结构，从而系统的运动是混沌。

1.3重构相空间法

重构相空间法的目的是使一个时间序列在一个合适的空间坐标系中能显示出混沌吸引子的结构。判断混沌运动的可靠方法之一是构造相图， 寻求奇异吸引子。

假设从实验中测得一个数值序列x，x，...x，...， 其中x是第i时刻测量得到的试验值，由于此数据序列是按时间序列进行测量得到，所以称为时间序列。因为不知道实际的相空间的维数是多少，我们先用测得的这些数据支起一个m维空间。现在重新回到m维嵌入空间上来。构造维空间的方法很多，这里仅介绍一种较为直观且有效的方法。如取m=10，把x，x，...，x，...x 。作为10维空间中的一个矢量y1，然后，右移一步，把x，x，...，x，...x作为维空间中的第二个矢量y2。继续如上的步骤，构造出一批矢量y，y，...，y。任意两矢量之间差的绝对值r=

y

-y为矢量yi，yj端点间的距离。任意给出一个数ε，然后与所有的点对（y，y）间距离rij相比较，看有多少个r小于ε，其数目记为N1（ε），而rij>ε的数目记为N2（ε）。若令N（ε）=N（ε）+N（ε） ，把距离小于ε的点对在所有的点对中占的比例记为C（ε），即C（ε）= 。以上整个计算过程可以利用计算机来完成。

1.4功率谱分析方法

功率谱表示随机运动过程在各频率成分上的统计特性，可以采用标准程序软件计算或专用的频谱分析仪器测定其功率谱。为描述混沌振动的随机性，可以应用研究随机振动的频谱分析方法识别混沌运动。通常假设混沌是各态历经的，即时间上的平均量与空间上的平均量相等。

在许多实际问题中，人们往往只能观测到如下的离散事件序列

由于它反映了实际非线性动力系统的运动状态，而吸引子正是这种状态的归宿，因此吸引子的信息就包含在这一时间序列当中。从实验中可以直接测量的对象就是时间序列分析的功率谱。

对于随机信号的样本函数，对xi进行傅立叶变换。

对n个采样值加上周期条X=x ，可计算时间序xj的自相关函数Φm=xx ，自相关函数的傅立叶变换就是功率谱：

式中，S说明第k个频率分量对xj的贡献，其意义代表单位频率上的能量。

从时间序列上分析了非线性动力系统的波动状态后，就可以很容易地从功率谱上区分出周期函数、拟周期函数和非周期函数。

2.总结

本文简要地介绍了分岔和混沌的理论，其本质和研究的内容，以实例重点介绍了非线性时间序列分析的方法和应用。