基于李群方法的贝塞尔函数数学实现

徐常伟,于凯,朱峰

(西南交通大学电气工程学院,四川成都 610031)

基于李群方法的贝塞尔函数数学实现

徐常伟,于凯,朱峰

(西南交通大学电气工程学院,四川成都 610031)

基于李群的表示理论,首先讨论了欧拉群的表示及其性质;然后,从该群的表示理论出发,分别导出了第一类贝塞尔函数的积分形式和幂级数形式.该研究表明了群方法可以求解对称边界问题的解析波函数,并为用群方法求解电磁场问题创造了条件.

全域波函数;贝塞尔函数;李群;群表示

1 引言

长计算时间和大存储容量的要求是计算电磁学领域中限制矩阵方法应用的主要障碍.选用全域波函数求解可以有效地节约计算时间和存储容量,而且能减少数值方法的误差,这也是计算电磁学发展的方向之一[1-2].贝塞尔函数作为一类全域波函数,在电磁场的数学物理方法中占有非常重要的地位.传统方法是通过对圆柱边界用分离变量法求解波动方程得到贝塞尔函数[3-5].然而,当散射体边界对称特性不规则时,很难通过分离变量法求得特定问题的全域波函数,因此非常有必要寻找新途径.

群论作为近代数学的一个重要分支,目前在理论物理、核物理、高分子化学中得到越来越广泛的应用.文献[1]首次将群方法用于对称散射结构的减元处理,文献[6]首次用群方法实现球谐函数.而本文将用李群方法实现贝塞尔函数.相对于分离变量法,群方法有如下特点:传统的贝塞尔函数的加法定理,变成了特定边界对称群的不可约表示的乘法定则,也就是说,李群方法可以代替传统的级数方法[7].

2 欧拉群E2的性质

一个平面所有的变换构成的群,叫欧拉群,记为E2,它是一个三参数李群.其任一元素可表示为T()R(θ).其中,R(θ)表示平面绕原点转动角θ,T()=(a,b)表示平面沿着矢量平移.

平面上任意点(x,y)在群元素的作用下坐标(x′,y′)是[8]:

很显然,群元素T(→a)R(θ)由两个算子共同表示,一个是平移算子T(),另一个是转动算子R(θ).这两个算子独立构成的群是群E2的子群,而且T∩R={e}.群E2的每一个元素都能由两个子群元素的乘积表示.一般来说,该乘积不满足交换律,即

3 贝塞尔函数的实现

4 结论

通过李群的表示理论,实现了电磁场的数学物理方法中重要的贝塞尔函数.通过该研究,为用群方法求解满足特定对称条件的电磁场问题创造了条件.即便对于复杂的边界条件,也可以用解析延拓的方法,将原边界条件化为有对称性质的主要部分和无对称性质的微扰部分,然后通过迭代的方法求解微扰.这正是下一步研究的重点.

[1]朱峰,杨海川,任朗.处理具有对称和反对称结构电磁散射的群理论[J].中国科学:E辑,1997,40(23):249-254.

[2]朱峰,任朗,张善谋.用于处理六边对称结构电磁散射的GIM技术[J].微波学报,1997,13(2):134-138.

[3]Leung Tsang,Jin Au Kong,Kung-Hau Ding.Scattering of Electromagnetic Waves:Theories and Applications[M].New York:John Wiley&Sons,Inc.,2000.

[4]Akira Ishimaru.Electromagnetic Wave Propagation,Radiation,and Scattering[M].New Jersey:Prentice-Hall,Inc.,1991.

[5]杨儒贵,张世昌.高等电磁理论[M].北京:高等教育出版社,2008.

[6]赵柳,朱峰,白霄波.球谐基函数数学实现的一种群方法[J].西南交通大学学报,2004,39(2):213-216.

[7]陶瑞宝.物理学中的群论[M].上海:上海科学技术出版社,1986.

[8]Mathai A M,Hans J Haubold.Special Functions for Applied Scientists[M].New York:Springer Science Business Media,LLC.,2008.

Mathematical derivation of Bessel functions from Lie group theory

Xu Changwei,Yu Kai,Zhu Feng
(Department of Electrical Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu610031,China)

This paper is from a Lie-group theoretical background,firstly the representation and properties of Euclidean group are discussed;Afterwards integral and power series representations of Bessel functions of the first kind are derived from the representation of Euclidean group.The study shows that analytic wave functions of symmetry boundary condition can be obtained in group approach,which creates conditions for solving electromagnetic problems by group method.

global wave functions,Bessel function,Lie group,group representation

O152.5,O411.1

A

1008-5513(2013)03-0275-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.03.008

2012-12-26.

国家自然科学基金(60971041).

徐常伟(1984-),博士生,研究方向：群论,电磁散射,微波理论.

2010 MSC:22E10