带次临界指标薛定谔方程的正解

汪继秀，肖计雄

（1.湖北文理学院 数学与计算机学院，湖北 襄阳 441053；2.襄阳五中，湖北 襄阳 441021）

1 引言

本文主要研究一类拟线性薛定谔方程

研究这类方程的动机主要源于

其中 i 是虚数单位，z:R×RN→ 复数，W:RN→R给定势能，h,l:R+→R.令z(t,x)=exp(-iEt)u(x)，其中E∈R，u是一实值函数，则方程（2）转化成

若取l(s)=s，则方程（3）等价于

Poppenberg等［1］和Liu等［2］利用约束极小获得了问题（4）正的基态解.Liu等［3］利用变量替换将问题（4）转换成半线性椭圆方程，并且构建了一个Orlitz空间，利用山路引理得到问题（4）存在正解.对于这种变量替换的方法在文献［4-5］等也应用过.

本文受这些文献启发，主要考虑在方程（4）中取

即方程（1）的解.

2 主要结果

问题（1）对应的泛函

不能定义在H1(RN)上，为克服这个困难，受Liu［3］中的变量替换法的启发，令v=f-1(u)，且

则有

容易验证J(v)可以定义在H1(RN)且J(v)∈C1.而且J(v)的非平凡临界点是关于

为了证明的方便，本文将问题（5）改写成

则泛函J(v)可以改写成

其中:g(x,v)=f′(v)[λ|f(v)|p-2f(v)+|f(v)|q-2f(v)-V(x)f(v)]+V(x)v,

由此我们能够证明

定理1假设V(x)是连续的径向函数且满足条件（V1），λ＞0,N≥3,2＜p＜4,4＜q＜22*，那么（5）（6）（即（1））有一个正解.

证明中为了方便，记C,C1,C2…为一个正（可能不同）的常数；Lq(RN)的范数为，它也等价于H1(RN)的标准范数.

3 引理及结果证明

为了得到我们的结论，先给出几个引理.类似文献［6］关于引理2.1的证明，我们能够得到

引理1函数f(t)满足以下性质

（1）f(t)是唯一定义在C∞上函数并且可逆；

（2）∀t∈R,|f′(t)|≤1；

（3）∀t∈R,|f(t)|≤ |t|；

（4）当t→ 0 时，

（6）当t→+∞时，

（7）∃ 正数C＞0 使得

并且由定理1中的条件以及引理1中的（4）和（6），则容易验证

引理2g(x,v),G(x,v)满足

引理3泛函J满足

（i）存在δ，ρ≥0，使得当‖v‖ =ρ，J(v)≥δ；

（ii）存在v∈H1(RN)，使得当‖v‖ ＞ρ，J(v)＜0.

证明由引理2我们直接有，当ε＞0 充分小，则存在Cε＞0 使得，

则有

这也就得到了（i）.

由 4＜q＜22*，则当t→+∞ 时，J(v)→-∞ .因而得到（ii）.

利用引理3和山路引理，令

其中Γ={γ∈C([0,1],H1(RN)),γ(0)=0,γ(1)≠0,J(γ(1))＜0}，则H1(RN)中存在一个关于水平集c的（PS）序列，即

引理4在定理1的条件下，J关于水平集c满足（PS）条件.

证明首先，设是（PS）序列，则有

则由q＞ 4 推得

另外，当|vn(x)|≤1时，由引理1（7），

当|vn(x)|＞1时，由引理1（7）和（8）知

在（10）中令w=vn，结合（14）和引理1（8）则有

由（12），（13），（15）有

由2＜p＜4，则，使得对某一有

接下来想证

由（7）和（18），则得

因为 (J(vn))′→ 0，则由（16），（17）-（20）可得

令vn=v+vn，由f∈C1，以及（9）和Brezis-Lieb引理可知

综合（19）-（23）得

利用引理3，引理4和极值原理直接可以得到定理1.

［1］POPPENBERG M，SCHMITT K，WANG Zhiqiang.On the existence of soliton solutions to quasilinear Schrödinger equations［J］.Calc Var Partial Differential Equations，2002，14（3）：329-344.

［2］LIU Jiaquan，WANG Zhiqiang.Soliton solutions for quasilinear Schrödinger equations I［J］.Proc Amer Math Soc，2002，131（2）：441-448.

［3］LIU Jiaquan，WANG Yaqi，WANG Zhiqiang.Soliton solutions for quasilinear Schrödinger equations II［J］.J Differential Equations，2003，187（2）：473-493.

［4］COLIN M，JEANJEAN L.Solutions for a quasilinear Schrödinger equations：a dual approach［J］.Nonlinear Anal TMA，2004，56：213-226.

［5］DO Ó J M B，MIYAGAKI O H.Soliton solutions for quasilinear Schrödinger equations with critical growth［J］.J Differen⁃tial Equations，2010，248（4）：722-744.

［6］SEVERO U.Existence of weak solutions for quasilinear elliptic equations involving the p-laplacian［J］.Electronic Journal of Differential Equations，2008，56：1-16.