基于板壳理论的近水平/缓倾斜矿体矿压控制*

黄 滚 罗甲渊 邓玉华 张 鑫 张 龙

(1.煤矿灾害动力学与控制国家重点实验室;2.重庆大学资源及环境科学学院)

顶板失稳是采矿工程中最严重工程事故之一。尽管国内外学者在顶板失稳发生机理、监测手段及控制等研究方面取得了重要进展，但由于其本身较为复杂，到目前为止，还没有从根本上解决有效预测和防治问题。钱鸣高教授［1-3］用滑落回转变形失稳理论就开采时上覆岩层对工作面的影响、压力变化及需控制岩层范围等问题进行定量分析，建立了断裂岩块间的铰合关系，说明了砌体梁力学模型是层状矿体开采后岩层的基本结构形式。贺广零［4］基于温克尔假设，分析了煤柱与顶板相互作用。伍永平［5］分析了采场顶板应力分布特征和变形破坏规律，认为采场顶板破断后形成了倾向砌体和反倾向砌体结构，且该结构的运动形式受到上覆未垮落岩层变形破坏的影响。崔希民［6］用非线性几何理论修正了变形损伤因素，建立线性限制理论研究煤矿开采引起的各种沉降，也包括顶板下沉。钟新谷［7］分析了工作面顶板“三铰拱”结构、“砌体梁”结构的变形失稳机理，提出了顶板岩层流变会降低顶板结构承载能力。黄庆享［8］在现场实测和模拟研究的基础上，提出了浅埋煤层采场老顶周期来压的“短砌体梁”和“台阶岩梁”结构模型，并认为这2类顶板结构的滑落失稳是导致浅埋煤层工作面来压强烈和出现台阶下沉的根本原因。从总体上看，大部分学者都将顶板视为弹性梁，这种近似处理方法极大地简化了分析过程，但在处理不允许顶板垮落而又不留原生矿柱的贵金属矿山采空场方面，对顶板与各种矿柱失稳分析研究还不多见。基于此，本研究将顶板视为弹性板，利用板壳理论和弹性力学对采空区顶板进行了理论计算并结合现场监测数据进行顶板与砌体矿柱失稳分析。

1 顶板力学模型与失稳分析

1.1 近水平矿层顶板力学简化模型

对岩土工程而言，有学者［9］对采用不同薄板理论计算结果做过比较，对同一几何尺寸岩板挠曲度进行计算时，简支板与固支板2种方法计算误差＜3%，大挠度板与小挠度板的计算误差＜5%，都可以忽略不计。在板壳理论中［10-12］，将板表面间距离(板厚h)远小于板表面本身尺寸(长a、宽b)的板定义为薄板，对于一般的计算精度要求，h/(min(a，b))在1/100～1/5之间的板就可按薄板来计算。对于岩石材料，其强度最大特点是抗拉强度远小于抗压强度或抗剪强度，因而，在采矿工程中，最大拉应力是导致顶板岩体破坏的主要原因。一般情况下采空场上覆岩层分层厚度在4～20 m，而采空场长或宽一般在100～1 000 m，这相对于岩层厚度来说，能满足h/(min(a，b))≤1/5的要求。因此，如果岩石顶板挠度相对于自身厚度小得多时，即表明岩石顶板变形可满足小挠度理论要求。在实际采矿工程中，对于顶板完整且坚硬的采空场，可采用在薄板边界各点挠度为零的边界条件，将采场顶板简化为周边简支弹性矩形板，如图1所示。

图1 简支固定弹性矩形板

根据弹性基础上的平板弯曲理论［10-13］，顶板下沉位移(挠度)ω(x，y)满足

式中，D为板的弯曲刚度，D=(Eh2)/(12(1－v2));E为板的弹性模量;v为板的泊松比;▽2为拉普拉斯算子;q为作用在顶板上总的均布载荷。力学简化模型方程要满足如下边界条件:

在x=0，a处ω=0，

在y=0，b处ω=0，

根据纳维尔法，设挠度函数ω(x，y)和荷载q均能在x=0，a及y=0，b的区间展开为二重傅里叶级数:

显然式(4)、(5)满足边界条件式(2)、(3)，Amn、amn为满足方程式(1)所必需的待定系数，m、n为任意正整数。

当荷载为均布载荷q时，

当m、n为奇数时，

m、n之一为偶数时，amn=0.

将式(6)代入式(5)得

将式(4)、(7)代入方程式(1)，得

从而可得

将式(9)代入式(4)，得

在实际工程问题中，取级数第一项即可满足工程精度，故有

在板中央x=a/2，y=b/2处，挠度取得最大值，即

对于板的弯曲问题，弯应力和扭应力在数值上最大，是主要应力;横向剪应力及挤压应力在数值上较小，是次要应力，一般无需计算［14］。因此，可认为，τxy=τyx=0，而

从而就可得到

根据最大主应力准则，需确定max(σ1，σ2)，而

也即是σ1，2=σx，y，max(σ1，σ2)=max(σx，σy)。

1.2 倾斜矿层顶板力学简化模型

在倾斜矿层开采条件下，顶板上覆岩层受力情况如图2所示。

图2 倾斜矿体上覆岩层力学简化模型

顶板岩层挠度可表示为

式中，γ为顶板上覆岩层容重。

此时顶板挠度微分方程为

D▽2▽2ω=q1的解如式(11)，接下来求

的解，不妨将此时的挠度函数和荷载均在x=0与x=a及y=0与y=b的区间展开为二重傅里叶级数:

此时

是三角荷载，故

从而

因此式(23)可写成

将式(22)、(25)代入式(21)整理后得

将式(26)代入式(22)得

当m=n=1时，

根据叠加原理，得

此时，由于板受到非均匀载荷作用，所以最大挠度点不再出现在板的几何中心，而是出现在y=b/2直线上。由式(19)可知，最大挠度点主要取决于q2，故分析式(27)。

令y=b/2，并取m=1，2，n=1，得

令

有

由式(31)得

式中，

最大挠度点为

当a=b时，x≈0.55a，说明此时板最大挠度点向x=a/2倾斜方向偏移。同样可得同时也需考虑max(σx，σy)。

1.3 顶板失稳分析

利用全面法开采近水平或缓倾斜矿床时，对于采空场顶板稳定性起控制作用的是矿房顶板跨度。因为采空场顶板在其上覆岩体力及自身重力作用下，将产生向下弯曲或移动。同时，顶板某些区域也将产生拉应力作用，如果此拉应力超过顶板岩体极限抗拉强度时，顶板将被拉裂、跨落。此外，越靠近工作面或矿柱部位的顶板中存在应力集中。因此，应合理确定矿柱与工作面的距离或矿柱间距，尽量使顶板不出现拉应力，或使出现的拉应力低于顶板岩体抗拉强度。

对于近水平矿体(图3所示)，当采场顶板受到均布载荷作用时，最大挠度总出现在采场顶板的几何中心处，所以采场顶板破断时将首先由于最大拉应力超过采场顶板岩体抗拉强度，而沿采场顶板开裂。随着这种开裂，顶板内部应力重新分布，如果支护不及时或支柱强度不够大时，顶板裂纹扩大延伸至相互交错，最后采场顶板被压裂为空间块体失稳而垮落。

图3 近水平顶板支护简图

对于缓倾斜矿体(图2、图4所示)，当顶板受到非均匀荷载时，最大挠度点不再出现在顶板的几何中心，而是出现在直线y=b/2与直线x=a/2交点偏向下山方向，所以最大拉应力也向下山方向偏移。而此时的砌体支柱除了受到顶板压力外，受到顶板上山方向推力和下山方向拉力作用，这对砌体支柱强度及稳定性要求更高。

图4 倾斜顶板支护简图

图3的1#周围矿柱和图4的1#偏下山方向矿柱都是顶板最大挠度可能产生部位，这些区域的矿柱将承受最大应力。当由顶板对这些矿柱的压力等于或大于此区域矿柱极限强度与顶板岩体抗拉强度之和时，这些矿柱将发生失稳破坏。随着破坏矿柱的支撑能力大幅降低，原来由其承担的载荷将逐渐转移到相邻矿柱，在均匀矿柱的情况下(矿柱强度相同)，这些周围矿柱将会由于转移荷载带来的附加应力超过其强度而发生破坏，出现类似多米诺效应的现象，最终使得整个采场矿柱发生破坏，从而导致采场顶板整体失稳坍塌。

2 采空场顶板应力分析与采场矿柱应力观测

2.1 采空场顶板应力分析

贵州紫金水银洞金矿主要矿体呈近水平缓倾斜层状重叠产出，倾角平均5°～10°，个别地方达30°或以上，矿体较薄，层间距较小为5～35 m，所用采矿方法为全面法，采场埋深大多在150～250 m。由于矿区地表存在大量工业设施、民房建筑等，为不允许陷落地区，因此，对矿体采出后采空区的处理和上覆岩层移动控制要求较高。本研究以该矿部分采空区为例计算分析，如203、306、1403、607采空区近似为水平矿层，802、6线西平台、1300采场视作倾斜矿层，为计算方便倾角均取15°，顶板厚为埋深的1/6，根据式(12)和式(29)计算出相应采场最大挠度，最大弯矩，产生最大挠度时x方向和y方向应力，其计算结果如表1～表3所示。

表1 不同采场计算参数

表2 不同采场最大挠度

表3 不同采场最大弯矩和应力

从表3可以看出，不论是倾斜矿层还是水平矿层，x方向的应力普遍大于y方向的应力，即max(σx，σy)=σx，σx对顶板破坏起决定性作用，在6线西平台采场σx高达11.05 MPa，这远大于顶板岩体的抗拉强度5.47 MPa，如果没有砌体支柱支承，顶板将严重破坏。

2.2 近水平采场矿柱压力观测

近似地将203、306、607、1403视作水平矿层，且采空场砌体支柱是等距分布，支护简图如图3所示，部分矿柱上压力监测如图5～图8所示。

图5 203采场1～3#监测点压力变化

图6 306采场1～3#监测点压力变化

图7 607采场1～3#监测点压力变化

图8 1403采场1～2#监测点压力变化

图5显示203采场矿柱压力变化，1#压力盒压力从3月初开始急剧上升，到3月中旬到达峰值后开始下降，4月初降到最小值，矿柱损坏;而2#压力盒压力则从3月中旬也即是1#压力盒压力峰值时开始上升，当2#压力盒压力从峰值开始降到17 kN时，3#压力盒压力开始上升。图6、图7、图8分别给出的306、607、1403采场矿柱上压力变化亦有类似共同点:处于可能产生顶板最大挠度区域的矿柱最先承受顶板压力，也最先破坏，而在最大挠度区域矿柱未破坏之前，周围矿柱压力处于较小且恒定。

2.3 倾斜采场矿柱压力观测

类似地，将6线西平台、802、1300采场矿层近似视作倾斜矿层，且采空场砌体支柱也近似地认为是等距分布，支护简图如图4所示，部分矿柱上压力监测如图9～图11所示。

图9 6线西平台采场1～2#监测点压力变化

图10 802采场1～3#监测点压力变化

图11 1300采场1～2#监测点压力变化

图9～图11表明:位于顶板可能产生最大挠度部位的矿柱开始受力至峰值这段时间内，周围矿柱监测均未显示压力或压力较小，当位于顶板可能产生挠度最大区域矿柱压力从峰值开始下降直至矿柱破坏时，周围矿柱上监测压力才急剧上升。如图10给出的802采场矿柱压力变化最为典型，当1#压力盒压力8月初开始上升，到8月20号左右到达峰值时，2#、3#压力盒压力较小并保持不变;当1#压力盒9月初开始下降时，2#压力盒压力开始迅速上升;10月初1#压力盒压力剧减，2#压力盒压力接近峰值时，3#压力盒开始上升。

3 讨论与分析

从图5～图11分析显示，压力盒压力先后上升到峰值又降到零，这是矿柱开始受力至破坏和顶板应力产生至转移的过程反应，采空区顶板挠度形成必然引起这种应力产生，而矿柱破坏逐渐丧失支撑能力时必然导致应力转移。可能产生最大挠度部位矿柱所承受载荷最大，矿柱也最先受到顶板压力作用。监测数据表明，当1#监测点压力上升时，周围2#、3#监测点压力接近零也无上升趋势;当1#监测点从峰值开始下降时，周围监测点压力就开始有上升趋势;当1#监测点压力降到某个值或降到接近于零时，周围监测点压力呈迅速上升趋势，这与前面的理论分析相吻合较好。因此，在一个采空场中，当产生最大挠度部位矿柱强度不足够大时，随着时间推移和采矿空间扩大，这些矿柱压力也会出现上升至峰值后下降到零的过程，使矿柱出现破坏，直至整个采空区顶板完全垮落。对于连续分布的矿体，位于矿体几何中部的采区挠度也最大，这些区域的采区出现失稳破坏后，周围采空区应力也将会上升直至周围采区全部破坏。另外，现场监测还表明，对于同一采区，矿柱破坏先后顺序存在差异。靠近顶板最大挠度部位矿柱首先破坏，破坏程度也较严重;靠近采场边缘矿柱破坏较迟，破坏程度也较弱。类似地，对于连续分布的近水平或缓倾斜矿体，位于可能产生顶板最大挠度区域的也最先破坏，而边缘矿柱失稳破坏则相对较慢。因此，在采用支护或充填方法控制矿压时，要及时在顶板可能产生最大挠度区域增加支护体强度。

在矿柱设计时，还要考虑矿柱所支承顶底板岩石环境［15］。因为在矿柱支撑顶板时，所有矿柱不同时到达矿柱极限强度，先到极限强度的矿柱先产生破坏，同时使承载能力也先下降。因此，所有矿柱所能支撑顶板的实际能力要比全部矿柱强度之和小。另外，有学者研究表明［16］，如果将1根大矿柱和几根小矿柱(两者支护面积相同)作比较，当几根小矿柱弱断面都在不同的高度时，这些小矿柱承载能力之和总小于大矿柱承载能力。所以，在矿柱支撑相同面积情况下，选用小矿柱所能承受的顶板都小于大矿柱。

根据上述分析，可以把采场顶板可能产生理论上的挠度作为衡量开采后采用的支护体内部应力增加的一个尺度，并可据此作为矿压控制优化的理论依据。对于某个采空区的稳定性，主要考虑采空区顶板可能出现最大挠度处矿柱的受压破坏。这些部位的矿柱也是控制整个采场稳定性的关键矿柱。因此，在进行采空区支护设计时，对于单个采场，其矿柱可以根据采场顶板挠度的分布进行矿柱的设计，挠度大的地方，采用强度较高的矿柱，挠度较小的部位，则采用强度较低的矿柱。对于连续分布的近水平或缓倾斜矿体，在其中部采场采用高强度的支护体以保证整个矿山结构的稳定性，而对于位于矿体边缘的采场则采用低强度的支护措施即可。

4 结论

(1)建立了适用于近水平或缓倾斜矿体坚硬顶板的板壳力学模型。模型计算结果与现场实测数据比较分析表明，在采矿过程中，顶板可能产生的挠度可以作为衡量开采后矿柱内部应力增加的一个尺度，并可据此成为矿压控制优化的理论依据。

(2)进行顶板支护设计时，对于单一采场，位于顶板可能产生最大挠度部位应采用高强度支护体，由此及边缘，可将支护体强度逐渐降低;对于连续分布的近水平或缓倾斜矿体，位于矿体几何中部采场的稳定性是控制整个矿山结构稳定性的关键，应当对这些采场采用高强度的支护措施，由此及边缘采场，可将支护强度逐渐降低。

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