渐开线直齿圆柱齿轮设计中的接触应力研究

杜 钧，张 英，赵堂春

（北京电子科技职业学院自动化工程学院，北京 100176）

0 引 言

齿轮传动机构中，轮齿是齿轮直接参与工作的部位，常见的失效现象多发生于轮齿上，设计中的接触应力分析是强度校核的重要基础。

1 设计应满足的条件

1.1 一对渐开线齿轮正确啮合的条件分析

一对渐开线齿廓虽能保证确定的传动比，但不表明任意两个渐开线齿轮都能搭配起来进行正确啮合传动。要实现运动和动力的传动，必须满足一定条件。图1出示一对渐开线齿轮的啮合瞬间，此时有两对齿参与啮合，两轮齿工作侧齿廓的啮合点分别为K和K'。为了保证确定的传动比，两啮合点K和K'必须同时落在啮合线N1N2上；否则，将出现卡死或冲击的现象。这一条件可表述为和分别为齿轮1和齿轮2相邻同侧齿廓沿公法线上的距离，称为法向齿距，用pn1、pn2表示。因此，一对齿轮实现定比传动的正确啮合条件为两轮的法向齿距相等。又由渐开线性质知，齿轮法向齿距与基圆齿距相等，则该条件又可表述为两轮的基圆齿距相等，即pb1=pb2.若将 pb1=πm1cosα1和 pb2=πm2cosα2，代入则得 ： m1cosα1=m2cosα2.

式中：m1、m2和α1、α2分别为两轮的模数和压力角。由于齿轮模数和压力角都已标准化，可取：m1=m2=n.α1＝α2=α.两轮的法向齿距相等，因此，渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件最终表述为：两轮的模数和压力角分别相等。

1.2 实现连续传动的条件分析

图1 一对渐开线齿轮的啮合

1）一对渐开线齿轮啮合传动的过程：齿轮传动通过轮齿交替啮合实现。见图1，主动轮o1顺时针方向转动，推动从动轮o2逆时针方向转动。一对轮齿的开始啮合点是从动轮齿顶圆η2与啮合线 N1N2的交点 B2，这时主动轮的齿根与从动轮的齿顶接触，两轮齿进入啮合。随着啮合传动进行，两齿廓的啮合点将沿着啮合线向左下方移动，直到主动轮的齿顶圆η1与啮合线的交点B1，主动轮的齿顶与从动轮的齿根即将脱离接触，两轮齿结束啮合，B1点为终止啮合点。线段B1B2为啮合点的实际轨迹，称为实际啮合线段。若两轮齿顶圆加大时，点B1、B2分别趋于点N1、N2，实际啮合线段将加长。但因基圆内无渐开线，故点B1、B2不会超过点N1、N2，故点N1、N2称为极限啮合点。线段N1N2是理论上最长的实际啮合线段，称为理论啮合线段[1]。

2）连续传动应满足的条件：为保证齿轮定传动比的连续性，仅有两轮基圆齿距相等的条件是不够的，还须满足B1B2≥Pb。否则，当前一对齿廓在点B1分离时，后一对齿廓尚末进入点B2啮合，这使前后两对轮齿交替时将会引起冲击，无法保证传动的平稳性。两渐开线曲面的弹性体在齿廓传动压力下相互接触，都会产生接触应力，这种传递动力的高副机构工作中往往出现交变应力。受交变接触应力的机器零件在一定的条件下会出现疲劳点蚀现象，点蚀扩散到一定程度，零件就不能再用了，失效了，称为疲劳点蚀破坏。齿轮传动中的疲劳点蚀是其常见的一种失效形式，又因这种交变应力，进而会产生齿廓的塑性变形和齿廓折断等失效现象，要保证渐开线直齿圆柱齿轮正确啮合和连续传动，接触应力的分析是设计的关键，所以，两对齿轮的重合度对接触应力存在着一定的影响[1]。

3）重合度：实际啮合线段B1B2与基圆齿距pb的比值称为重合度εα，见图2。

图2 重合度

重合度表达为：εα=(B1B2)/pb≥1.实际应用中，εα值应大于或等于一定的许用值[εα]，即 εα≥[εα].其中许用重合度[εα]的值是随齿轮的使用要求和制造精度而定，推荐的[εα]值可查找相应标准[2]，常用的见表1。

表1 [εa]推荐表

一对外啮合齿轮的实际啮合线段B1B2=B1P+B2P.由于B1P=B1N1-PN1=mz1cosα(tgαa1-tgα')/2.B2P=B2N2-PN2=mz2cosα(tgαa2-tgα')/2.可得：

4）两齿廓的啮合传动中，重合度的物理意义：重合度的大小表明同时参与啮合的轮齿对数的多少。见图3的εα=1.3情况，实际啮合线B1B2的B2A1和A2B1（长度各为0.3Pb）段有两对轮齿同时在啮合，即为双齿啮合区；而在节点P附近A1A2段（长度为0.7Pb），只有一对轮齿在啮合，即为单齿啮合区[2]。总之，εα值愈大，表明同时参加啮合轮齿的对数愈多，在相同载荷的条件下其应力分布较为分散，不仅对提高齿轮传动的承载能力和传动的平稳性都有重要意义，而且能够减弱疲劳点蚀破坏，提高齿轮的使用寿命。

图3 重合度的意义

2 轴线平行的两圆柱体接触时的接触应力

轴线平行的两圆柱体接触时，变形前二者沿一条直线接触，受压力P后，接触处发生了弹性变形，接触线变成宽度2b的矩形面，见图4，接触面上的单位压力按椭圆柱规律分布[3]。变形最大的x轴上压力最大，以P0表示，接触面上其余各点的压力按半椭圆规律分布，见图5，半椭圆柱的体积等于总压力P，故

图4 两圆柱体接触

图5 两圆柱体接触的压力分布

最大单位压力：

由赫兹公式知：

代入式（1）得

若两圆柱体的材料均为钢时，E1＝E2＝E，μ1＝μ2＝0.3，取

.则接触应力为：

3 齿轮传动齿廓的接触应力分析

一对齿轮在节点处接触，相当于半径为ρ1、ρ2的两个圆柱体接触，见图6，则其曲率半径为：

图6 一对齿轮在节点处接触的接触应力

4 结束语

1）经对渐开线曲面间高副接触应力的分析，并用赫兹公式可知，齿轮材料确定的条件下，齿轮的结构与接触应力有着直接关系，在相同载荷的情况下，其分度圆的直径越大，可承受的接触应力就会有所提高；压力角越大，可承受的接触应力值会下降。2）对于齿轮传动，通常是工作在较高的接触压力下，使其经过多次接触应力循环后，局部表面将有小片或小块金属剥落、形成麻点或凹坑，使零件工作时噪音增大，振动加剧。如果在其结构设计时，根据上述接触应力赫兹公式分析，进行相应结构考虑，对于提高齿轮使用寿命很有实际意义。

[1] 周亚焱，程友斌.机械设计基础[M].北京:化学工业出版社,2008:107-108.

[2] 韩建友.机械原理[M].北京:高等教育出版社,2007：279-282.

[3] 刘鸿文.材料力学[M].北京:高等教育出版社,1984：268-270.