关于CRCE-半群

李 焕， 高振林

（上海理工大学理学院，上海 200093）

关于CRCE-半群

李 焕， 高振林

（上海理工大学理学院，上海 200093）

引进半群的Cwrpp Rees根、Cwrpp Rees根扩张wrpp半群（CRCE-半群）等概念.解决Cwrpp Rees根扩张wrpp半群的存在性，证明这是一个迄今为止从未涉及的半群类.研究wrpp半群的Cwrpp（根）理想扩张的性质.最后给出这类wrpp半群的关于Cwrpp Rees根扩张结构的特征.

（强）Cwrpp Rees根；Cwrpp根半群；Cwrpp扩张；CRCE-半群

1 预备知识

定义7半群S上的同余ρ称为Cwrpp同余，如果S/ρ是Cwrpp半群.此时如果ρ还是S上的Rees同余，称ρ是Cwrpp Rees同余.

定义8对半群S上的Cwrpp同余ρ，如果存在S的子集I和Cwrpp子半群使得

则称I是S的（Cwrpp）ρ-集，这时将ρ记作ρI.

由文献［3］知，若（Cwrpp）ρ-集存在，则由ρ唯一确定.另外，若ρ是Cwrpp Rees同余，则（Cwrpp）ρ-集I必存在，且I是半群S的理想，称I为S的Cwrppρ-理想.

定义9对半群S，如果S无任何Cwrpp同余，那么定义S的Cwrpp根同余是泛关系S×S，则称S是Cwrpp根半群；如果S至少有一个Cwrpp同余，那么定义S上的Cwrpp根同余是所有Cwrpp同余ρα（α∈w）的交，记作ρcr，即

如果ρcr也有ρcr-集，则将其记为N（S），即ρcr= ρN（S），称N（S）为S的Cwrpp根集.对于Cwrpp根同余ρcr和Cwrpp根集N（S），有时统称它们为S的Cwrpp根.

由定义9知，对任一半群S，ρcr总是存在的.一般地，ρcr不必仍是S的Cwrpp同余.当然，若ρcr仍是S上的Cwrpp同余，那么ρcr是S上的最小Cwrpp同余.

定义10称半群S的Cwrpp根同余ρcr是强Cwrpp根，若ρcr仍是S上的Cwrpp同余，且N（S）存在.

设半群S的Cwrpp根同余ρcr是强Cwrpp根，则易知N（S）可表示为

在式（3）中，若对于∀α∈w，Iα是S上的Cwrppρα-理想，则N（S）也是S的理想，但不必是wrpp半群，于是以下概念是有意义的.

定义11若半群S有强Cwrpp Rees根同余ρcr，且根理想N（S）是S的wrpp子半群，则称S为CRCE-半群.

设S为CRCE-半群，则由式（2）、式（3）得

2 CRCE-半群基本性质

引理1设S为CRCE-半群，则S是wrpp半群，且是Cwrpp半群.

证明只要证S是wrpp半群，剩余部分由定义9～11即得.

对a∈C，用以上相同方法可得定义4中条件a与条件b在S上成立.

由定义1～11易得以下结论：

引理2设S是CRCE-半群，则

a.N（S）是Cwrpp根半群；

b.如果I既是S的Cwrpp理想，又是Cwrpp根半群，那么I=N（S）.

引理3 设S为CRCE-半群.若E（S）是带，则E（N（S））包含子带

3 CRCE-半群根理想扩张的性质和存在性

现讨论CRCE-半群关于根理想扩张的性质和存在性.首先回忆一下理想扩张的概念（见文献［4］）.

定义13 设N，C=C*∪｛0｝是半群，C*没有零元0.称半群S是（C关于）N的一个（理想）扩张，如果S=C*N（不交并），且N是S的一个理想使得S/N≅C.

本文定义Cwrpp扩张与（Cwrpp）根Cwrpp扩张半群概念.

定义14称理想I的扩张S是Cwrpp扩张，如果S/I是Cwrpp半群且I是wrpp半群.

定义15设半群S为其理想I的Cwrpp扩张，若I=N（S），则称S为（Cwrpp）根Cwrpp扩张半群.

由以上定义和文献［4］得下面结论.

引理5如果半群C，I满足以下两个条件，则存在C关于I的扩张S.

a.C不包含真零因子；

b.I至少包含一个幂等元.

特别地，当I是wrpp半群，C≅S/I是Cwrpp半群时，S是Cwrpp扩张.

定理2设N（S）=∩α∈ωIα（见式（4））是CRCE-半群S的强Cwrpp Rees根，则

a.（∀α∈ω）Iα是理想**-左理想，且可表示为Iα=∪e∈E（Iα）J**（e）；

b.N（S）是理想**-左理想，且可表示为N（S）=∪f∈∩α∈ωE（Iα）J**（f）；

c.（∀α∈ω）存在Cwrpp半群Cα，使得S是Cα关于Iα的Cwrpp扩张.

证明

a.设e∈E（Iα）（∀α∈ω），由引理4，J**（e）是理想**-左理想.设T=∪e∈E（Iα）J**（e），由引理4，T是**-左理想.对e∈E（Iα），由Iα是S的理想得J**（e）⊆Iα，所以T⊆Iα.另-方面，设a∈Iα，则存在幂等元e∈E（Iα）使得a∈L**e.由e∈L**（e）⊆J**（e）⊆T和T是**-左理想，故=⊆T，即有a∈T，综合得Iα=T.

b.类似于a的证明可得到N（S）=∪f∈E（N（S））J**（f），且N（S）是一个**-左理想.只需再证E（N（S））=∩α∈ωE（Iα）.事实上

易证φα是从Cα到S/Iα的一个同构映射.因此Cα是S的一个Cwrpp子半群，使得Cα∩Iα=｛0｝，S=Iα.由结论a、引理4和定义14知，S是Cα关于Iα的Cwrpp扩张.

由以上引理5、定理2、定义11、定义14即得以下定理3～4.

定理3设I是CRCE-半群S的wrpp子半群，则以下条件等价：

a.I是S的Cwrpp理想；

b.S是某个Cwrpp子半群C关于理想I的Cwrpp扩张.

定理4设S是wrpp半群，则以下两个条件等价：

a.S是CRCE-半群；

b.S为其Cwrpp根的Cwrpp扩张半群.

证明a⇒b.因为S是CRCE-半群，由文献［4］知，S至少包含一个Cwrpp理想，且N（S）=∩α∈ωIα是S的一个真理想.由定理2，对任意的α∈ω记S=Iα∪，其中不包含零元.设C=∪α∈ω∪｛0∪｛0｝，若x∈N（S）∩C*，则x∈N（S）且x∈C*.因此推出对所有的α∈ω，x∈Iα，且对所有的α∈ω，x∉，推出x∉∪α∈ω= C*，与x∈C*矛盾.因此，N（S）∩C*=Φ.计算得

类似于定理2中c的证明，得到C≅S/N（S），且C是S的Cwrpp子半群.由S=N（S）∪·C*和定义15知，S为其Cwrpp根的Cwrpp扩张半群.

b⇒a.设S为其Cwrpp根N（S）的Cwrpp扩张半群，则N（S）是S的理想，使得S=N（S）∪·C*，C*∪｛0｝=C≅S/N（S）是S的Cwrpp子半群.若能证明S是wrpp半群，由定义11知S为CRCE-半群.往证S是wrpp半群.

综合之得S是wrpp半群.

4 例 子

最后，用以下实例说明CRCE-半群的存在性，并体现这类半群具有独特意义.

设N和C=C*∪｛0｝是半群，C*是没有零元的Cwrpp半群，C*的半格分解表示由式（1）给出. N是有幂等元集E（N）的Cwrpp根wrpp半群，其

中E（N）包含由Y决定的子带E1如下

因C*=∪α∈YMα，故可定义从C*到N的映射θ如下

可证θ是一个局部同态映射（见文献［5］）：对∀x，y∈C*，则存在α，β∈Y使得x∈Mα，y∈Mβ.

故θ为C*到N的局部同态映射.令S=C*N，在S上定义以下运算“°”

a.（∀x，y∈C*）x°y=xy在C*中；

b.（∀x∈C*，n∈N）x°n=xθ·n在N中；

c.（∀x∈C*，n∈N）n°x=n·xθ在N中；

d.（∀α，β∈N）α°β=αβ在N中.

则S关于运算“°”成Cwrpp根的Cwrpp扩张半群，由定理4知S是一个有强Cwrpp根N的CRCE-半群.这里指出：由于

故S不是文献［3］中的左Cwrpp（右Cwrpp）-半群，也不是文献［5］中的完备Wrpp半群（见文献［3，5-7］）.这说明CRCE-半群具有独特意义.

［1］ Fountain J B，Abundant semigroups［J］.Proc London Math Soc，1982，44（3）：103-129.

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［3］ Du L，Shum K P.On left C-wrpp semigroups［J］. Semigroup Form，2003，67（3）：373-387.

［4］ Clifford A H，Preston G B.The algebraic theory of semigroups［M］.Providence：American Mathematical Society，1961.

［5］ Guo X J，Shum K P，Guo Y Q.Perfect rpp semigroups［J］.Comm Algebra，2001，29（6）：2447-2459.

［6］ Fountain J B，Right pp monoids with central idempotent［J］.Semigroup Forum，1996，53（1）：229-237.

［7］ 高振林，吴小宝.C-ρRrpp半群的结构特征［J］.上海理工大学学报，2012，34（1）：48-50.

On CRCE-semigroups

LIHuan， GAOZhenlin
（College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

The concepts of Cwrpp Rees root of semigroup and Cwrpp Rees radical extension of wrpp semigroups were introduced.The Cwrpp Rees radical extension of wrpp semigroups（CRCE-semigroups）were investigated，and the properties and existence of Cwrpp（radical）ideal extension of the class of CRCE-semigroups were discussed.

（strong）Cwrpp Rees radical；Cwrpp radical semigroups；Cwrpp radical extension；CRCE-semigroups

O 152.7

A

1007-6735（2013）01-0097-06

2011-12-23

李 焕（1985-），女，硕士研究生.研究方向：代数学.E-mail：lihuan3110@163.com