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对一道中考试题解法的探究

2013-06-20李景财

语数外学习·上旬 2013年4期
关键词:升学考试切点切线

李景财

试题:(2011年武汉市初中毕业升学考试第22题)

如图1,PA为⊙O的切线,A为切点. 过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B. 延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.

(1) 求证:PB为⊙O的切线;

(2) 若tan∠ABE=,求sin∠E的值.

第(1)问是圆中的常见问题,因为点B在圆上,连半径OB,证明∠OBP=90° 即可. 这里的关键是发现OP是弦AB的中垂线,通过三角形全等或等腰三角形的性质可证∠OBP=90°. 证明过程不再赘述.

第(2)问综合性强,对同学们的能力要求较高,解答方法多样,本文主要探讨第(2)问的证明方法.

图1

一、 构造相似三角形

解法1: “A”型与勾股定理

如图1,由tan∠ABE=,设OC=k,则BC=2k,BO=k,OP=5k.

由∠ABE=∠BPO,得PC=2BC=4k,BP=2 k.

由(1)得∠OAE=∠PBE=90°.

又∵∠OEA=∠PEB,

∴△OAE∽△PBE,

===,

即=.

整理,得AE=2DE.

设DE=t,则AE=2t.

在Rt△OAE中,(2t)2+ (k)2=(k+t)2,

解得t=,

∴OE=,

sin∠E==.

解法2 : “A”型与切线长定理

如图2,∵BD为直径,∴∠BAD=90°,

∴AD∥OP,

∴AD=2OC=2k, △ADE∽△POE,

∴==.

图2

设AE=2t,PE=5t,则PA=3t.

∵PA=PB ∴PB=3t.

∴sin∠E==.

解法3: “A”型与合比性质

由解法2 知,==,

由比例的合比性质,得==,即=,

∴DE=,

∴OE=DE+OE=,

∴sin∠E==.

解法4: “A”型与“射影定理图”

如图3,过O点作OF⊥OA交AB于F.

∵AE⊥OA ,∴OF∥AE,

∴=.

图3

由解法1可知OC=k,AC=BC=2k,OA=OB=k.

∵OF⊥OA,OC⊥AF,∴△AOC∽△OFC.

∴OC2=AC·CF ,∴CF=k.

∴BF=BC-CF=k,AF=AC+CF=k.

sin∠E====.

二、面积法

解法5:转换目标角

如图4,由解法1 知PA=PB=2k,PC=4k,AB=4k.

过A点作AF⊥PB于F,由三角形面积公式得AF·PB=AB·PC,

∴AF=.

在Rt△APF中,PF==.

∵EB⊥PB,AF⊥PB,∴EB∥AF,

∴∠E=∠PAF,

∴sin∠E=sin∠PAF==.

图4

三、 构造辅助圆

解法6: 圆的性质与勾股定理

如图5,由第1问可知,∠PBO=∠PAO=90°,

图5

∴A、P、B、O四点共圆.

设圆心为N,连接BN.

∴∠AOE=∠APB.

∵OP⊥AB, ∴∠BNC=∠APB,

∴∠AOE=∠BNC.

又∵∠OAE=∠BCN,

∴∠E=∠CBN.

由解法1得,OC=k,BC=2k.

设⊙N的半径为r,则CN=r-k,BN=r,

在Rt△BCN中,(2k)2+(r-k)2 =r2,

解得r=k,

∴CN=k-k=k,

∴sin∠E=sin∠CBN==.

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