对一道中考试题解法的探究

李景财

试题：（2011年武汉市初中毕业升学考试第22题）

如图1，PA为⊙O的切线，A为切点. 过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B. 延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.

（1） 求证：PB为⊙O的切线；

（2） 若tan∠ABE=，求sin∠E的值.

第（1）问是圆中的常见问题，因为点B在圆上，连半径OB，证明∠OBP=90° 即可. 这里的关键是发现OP是弦AB的中垂线，通过三角形全等或等腰三角形的性质可证∠OBP=90°. 证明过程不再赘述.

第（2）问综合性强，对同学们的能力要求较高，解答方法多样，本文主要探讨第（2）问的证明方法.

图1

一、 构造相似三角形

解法1： “A”型与勾股定理

如图1，由tan∠ABE=，设OC=k，则BC=2k，BO=k，OP=5k.

由∠ABE=∠BPO，得PC=2BC=4k，BP=2 k.

由（1）得∠OAE=∠PBE=90°.

又∵∠OEA=∠PEB，

∴△OAE∽△PBE，

===，

即=.

整理，得AE=2DE.

设DE=t，则AE=2t.

在Rt△OAE中，（2t）2+ （k）2=（k+t）2，

解得t=，

∴OE=，

sin∠E==.

解法2 ： “A”型与切线长定理

如图2，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，

∴AD∥OP，

∴AD=2OC=2k， △ADE∽△POE，

∴==.

图2

设AE=2t，PE=5t，则PA=3t.

∵PA=PB ∴PB=3t.

∴sin∠E==.

解法3： “A”型与合比性质

由解法2 知，==，

由比例的合比性质，得==，即=，

∴DE=，

∴OE=DE+OE=，

∴sin∠E==.

解法4： “A”型与“射影定理图”

如图3，过O点作OF⊥OA交AB于F.

∵AE⊥OA ，∴OF∥AE，

∴=.

图3

由解法1可知OC=k，AC=BC=2k，OA=OB=k.

∵OF⊥OA，OC⊥AF，∴△AOC∽△OFC.

∴OC2=AC·CF ，∴CF=k.

∴BF=BC-CF=k，AF=AC+CF=k.

sin∠E====.

二、面积法

解法5：转换目标角

如图4，由解法1 知PA=PB=2k，PC=4k，AB=4k.

过A点作AF⊥PB于F，由三角形面积公式得AF·PB=AB·PC，

∴AF=.

在Rt△APF中，PF==.

∵EB⊥PB，AF⊥PB，∴EB∥AF，

∴∠E=∠PAF，

∴sin∠E=sin∠PAF==.

图4

三、 构造辅助圆

解法6： 圆的性质与勾股定理

如图5，由第1问可知，∠PBO=∠PAO=90°，

图5

∴A、P、B、O四点共圆.

设圆心为N，连接BN.

∴∠AOE=∠APB.

∵OP⊥AB， ∴∠BNC=∠APB，

∴∠AOE=∠BNC.

又∵∠OAE=∠BCN，

∴∠E=∠CBN.

由解法1得，OC=k，BC=2k.

设⊙N的半径为r，则CN=r-k，BN=r，

在Rt△BCN中，（2k）2+（r-k）2 =r2，

解得r=k，

∴CN=k-k=k，

∴sin∠E=sin∠CBN==.