考虑不确定性的稳健优化设计研究

胡盛勇，胡钧铭，魏发远，葛任伟，梁天锡

（中国工程物理研究院总体工程研究所，四川 绵阳 621900）

0 引言

对于复杂的机械系统而言，结构尺寸的变化、结构之间的相互作用以及零件的加工因素等不确定性因素都会给系统的最终响应造成影响。稳健设计正视不确定性因素及其对产品性能的影响，在不提高制造精度和使用条件等的限制下，以减少不确定性因素对性能的影响。20世纪70年代，日本Taguchi G［1］提出3次设计方法，将传统类比、试凑的经验设计转变为基于试验的数理统计分析设计，且认识到产品质量的提高在于控制设计中不确定性所导致的产品性能的波动，并致力于在设计阶段通过选择合适的设计变量来减小不确定性的影响。Parkinson A［2－3］指出稳健设计的本质是一个优化问题，其核心理念是设计参数的不确定性导致了设计目标和约束的不确定性，稳健设计的目的就在于减小这种不确定性。Chen Wei［4］认为稳健优化设计的目标是使不确定性造成的影响最小。稳健设计由最开始的经验设计转变为理论分析和判断，由于不确定性因素的存在，响应也带有不确定性。Belegundu A D［5］利用灵敏度信息作为稳健性评价指标，通过极小化灵敏度来实现稳健优化设计。Zhu Jianmin［6］等应用系统性能函数对参数求偏导形成雅克比矩阵，提出了基于雅克比矩阵特征矩阵和特征值的敏感区概念，并研究了性能敏感分布问题。Gunawan S等［7］应用敏感区概念提出了无需对性能函数求导的基于稳健性指数的设计方法。针对稳健性指数未能全面反映实际设计所能抵抗设计参数变化的能力，刘德顺等［8－9］结合最坏情况分析和稳健性指数，提出基于性能稳健偏差的设计方法。

在正视随机不确定性和认知不确定性2种不确定性的影响因素情况下，考虑2种不确定性因素的稳健优化设计流程，利用证据理论来统一表征2种不确定性，并以响应的不确定性作为评价准则，以测试系统作为分析对象，选取其中设计参数作为不确定性因素，利用介绍的稳健优化设计思路，通过计算得到响应的不确定性，最后对响应结果进行了评价。

1 稳健优化设计流程

当一个系统的输入存在不确定性时，输出也具有不确定性。传统稳健设计针对具体的设计目标开展工作，当输出存在不确定性时，很难判断设计参数的最优值。不确定性分为随机不确定性和认知不确定性。随机不确定性用概率密度函数来表征参数的分布空间，通常需要大量的样本来构造参数的概率密度函数，具有完整的描述方法。当参数存在不确定性，又没有大量的样本来支撑其描述时，可以认为是对于参数的认识不清楚造成的，这种不确定性称为认知不确定性。认知不确定性不能使用概率密度函数来完整的描述，但是根据经验，可以采用区间和区间的置信概率来描述。稳健优化设计同时考虑随机不确定性和认知不确定，对设计参数进行优化。

稳健优化设计流程如图1所示。通过对问题的认识，建立计算模型，求解计算结果，如果计算结果不满足要求，则修改设计参数。从不确定性的流程上看，主要分为不确定分析及表征、不确定传播和不确定性响应3个阶段。不确定性分析是贯穿整个稳健优化设计过程，参数不确定性分析是稳健优化设计的基础，传播是过程，响应是结果。

图1 稳健优化设计流程

1.1 不确定性分析及表征

对于实际问题，对其开展参数分析，作为建立模型的设计参数。提取需要分析模型的参数，主要包括尺寸参数、材料参数和模型参数等。不确定性分析及表征主要包括不确定性源的辨识、灵敏度分析和不确定性的量化等问题，其描述如图2所示。

图2 不确定性的描述

对实际问题分析，在提取参数后，根据实际问题和结构，确定参数的不确定源，即确定含有不确定性的参数，而对于其他未含不确定性的参数做定量处理。对提取的参数进行灵敏度分析，提取主次要参数，对结果影响较小的参数，可以不作为不确定性参数，而作为定量参数。通过不确定源的辨识，根据对参数的认识对其进行分类，分为随机不确定性和认知不确定性。如尺寸参数为随机不确定性，材料参数为认知不确定性。随机不确定性参数一般以概率密度函数的形式表示，如图2a所示。响应结果形式与输入参数的形式一致。认知不确定性参数一般用区间表示，如概率盒或D－S结构（证据理论结构）。每个区间赋予置信概率，置信概率表征参数值落在该区间的可信程度，置信概率在计算过程中随着区间进行传播，响应结果也是带有置信概率的一系列区间。由于认知不确定性是对参数的认知不清楚时的一种表达方式，因此随机不确定性参数可以区间化，统一用区间来表征。D－S结构是一种能够表达随机事件和可能事件的方法，可以采用D－S结构来统一表征随机不确定性和认知不确定性。D－S结构通常表示为一系列区间，并对每个区间赋予置信概率［10］。

1.2 不确定性传播

在不确定性分析后，针对分析问题建立的分析模型，计算响应结果。根据问题的不同，输入和输出之间存在明显的显式关系时，计算模型没有误差代入；但当输入和输出之间为隐式关系时，根据对模型的近似程度，在计算过程中会额外带入计算误差，根据不同的计算模型，计算误差可以估计。常用的处理方法是对输入参数进行抽样，对得出的结果进行统计，此方法效率低且计算量大，可以通过建立代理模型来实现计算过程的优化，但代理模型的精确程度会额外带入误差。

1.3 不确定性响应

由于每个设计参数可以表征为多个区间，当存在n个参数，每个参数xi（i＝1，2，…，n）有mi个区间（每个区间的区间概率为wij，j＝1，2，…，m），则共有C1m1＊C1m2＊…＊C1mn个设计空间，每个设计空间的区间概率为对应区间概率的积。

对设计空间取样，显式函数可以比较快速得到每个设计空间对应响应空间的上下限，对于隐式函数则需通过抽样来完成（或通过取一系列计算值，构造显示函数）。稳健优化设计的目标是保证能信任的区间尽可能的大，不确定的区间尽可能的小，为此定义下面的2个函数变量。

定义信任函数 （Bel）和似然函数 （Pl），Bel（B）表示对命题“B为真”的支持程度，Pl（B）表示证据不否定“B为真”的程度。Bel（B）和Pl（B）分别构成对B信任度的下限和上限，记为［Bel（B），Pl（B）］，Bel（B）和Pl（B）定义分别为:

B为目标性能的范围；A为设计空间对应的响应空间；A⊆B，表示A空间中属于B范围的子集集合；A∩B≠φ，表示A空间中与B范围有交集的子集集合；m（A）为响应空间的区间概率。

则对于事件B，响应关系如图3所示。

图3 响应不确定性示意

定义累积信任函数Bel和累积似然函数Pl分别为:

y0为目标性能值；Bel（y≤y0）为支持“y≤y0”为真的程度；Pl（y≤y0）为支持“y≤y0”不为假的程度；uy0为y≤y0性能值空间。

1.4 稳健优化设计准则

由于响应的不确定性，想要保证目标性能在设计空间内最大，即要求目标性能尽可能的落在可信区间［0，Bel］内，则有准则:

w1，w2为权重系数，且有w1＋w2＝1。即最优值是使不确定的区域最小的设计参数值。

2 实例分析

以测试系统为研究对象，该测试系统由壳体和测试部件组成，测试部件安装在壳体内，测试系统结构及组成如图4所示。

图4 测试系统

对整个测试系统进行分析，提取参数，主要包括设计参数、加工因素和材料参数等，对参数进行分析，确定含有不确定的参数，即确定不确定性源。对具有不确定性的参数进行灵敏度分析，选择对目标性能影响较大的参数进行分析。经过参数分析和灵敏度分析，选择壳体厚度D和测试部件安装位置L作为不确定性变量，整个舱的轴向一阶共振频率为目标性能，要求一阶共振频率f0≤590.112Hz。

为减小外界振动对测试部件的影响，在测试系统的壳体和测试部件之间安装了用于减振的橡胶材料。由于橡胶材料的分散性，很难表征和量化橡胶材料的特性，经过分析选择橡胶材料的可控因素作为优化设计的参数。选择橡胶材料的轴向厚度t作为设计优化参数，最后在满足目标性能的要求下，给出设计变量的最优值。

根据测试系统的安装结构和认识程度，对2个不确定性参数进行证据理论结构化，表征结构如表1所示。根据实际结构情况，选择厚度t分别为4 mm，4.5mm和5mm，利用证据理论传播原理，计算得到输出响应分别如表2，表3和表4所示。

表1 2个参数的证据结构

表2 橡胶材料厚度为4 mm时的响应

表3 橡胶材料厚度为4.5 mm时的响应

表4 橡胶材料厚度为5 mm时的响应

根据目标性能的需要，即要求f0≤590.112 Hz，选择w1＝w2＝0.5，则根据评价准则，有表5所示的判断准则。根据表5分析，当橡胶材料越薄时，准则判断的结果越小，即当橡胶材料厚度为4mm时，目标性能满足要求的可信程度最大。

表5 响应准则判断

3 结束语

分析了稳健优化设计流程，对稳健优化设计过程中含有的随机不确定性和认知不确定性，统一采用证据理论结构进行表征，提出了判断设计参数优化的判断准则。以测试系统作为优化设计模型，选择壳体厚度和测试部件安装位置作为不确定性因素，测试部件支承橡胶材料厚度为优化参数，利用评价准则对结果进行评价，实现了整个优化过程。

［1］Taguchi G.Introduction to quality engineering［M］.Tokyo:Asian Productivity Organization，1986.

［2］Parkinson A，Sorensen C，Pourhassan N.A general approach for robust optimal design［J］.ASME Journal of Mechanical Design，1993，115（1）:74－80.

［3］Parkinson A.Robust mechanical design using engineering models［J］.ASME Journal of Vibration and Acoustics，1995，117（2）:48－54.

［4］Chen Wei，Allen J K，Mistree F，et al.A procedure for robust design:minimizing variations caused by noise and control factors［J］.ASME Journal of Mechanical Design，1996，118（4）:478－485.

［5］Belegundu A D，Zhang S H.Robustness of design through minimum sensitivity［J］.ASME Journal of Mechanical Design，1992，114（2）:213－217.

［6］Zhu Jianmin，Ting Kwun－Lon.Performance distribution analysis and robust design［J］.ASME Journal of Mechanical Design，2001，123（1）:11－17.

［7］Gunawan S，Azarm S.Non－gradient based parameter sensitivity estimation for single objective robust design optimization［J］.ASME Journal of Mechanical Design，2004，126（3）:395－402.

［8］刘德顺，岳文辉，杜小平.系统性能稳健偏差与多点稳健设计优化［J］.机械工程学报，2006，42（10）:1－9.

［9］刘德顺，岳文辉，朱萍玉，等.基于性能稳健偏差的区间型参数稳健设计优化［J］.机械工程学报，2007，18（8）:952－957.

［10］Bae H R，Grandhi R V，Canfield R A.An approximation approach for uncertainty quantification using evidence theory［J］.Reliability Engineering ＆ System Safety，2004，86（3）:215－225.