分堆的有序与无序

薛毓铃

排列、组合中的分堆问题，思维抽象，是教学中的难点，本文对这个问题略作讨论。

一、类型1：各堆内部不考虑顺序，堆与堆间要考虑顺序

例1：把6本书分给甲、乙、丙三个人，每人2本，有几种不同的分法？

解：先把甲、乙、丙三人位置排定，即分成三堆。甲有C26种分法，乙有C24种分法，丙有C22种分法。因此分法总数是C26·C24·C22=90（种）。

例2：把6本书分给甲、乙、丙三人，甲分1本，乙分2本，丙分3本，有几种不同的分法？

解法同上。分法总数是C16·C25·C33=60（种）。

例3：把6本书分给甲、乙、丙三人，若一人分1本，一人分2本，一人分3本，不同的分法有几种？

这一题与例2不同。例2中是甲分1本，而例3中，可以是甲分1本，也可以是乙或丙分1本，所以，要考虑甲、乙、丙的顺序。

因此分法总数是（C16·C25·C33）·A33=360（种）。

一般的，将n个不同元素分成m堆，要求第1堆分n1个元素，第2堆分n2个元素，…第m堆分nm个元素（n1，n2，…，nm互不相等，且n1+n2+…+nm=n）。则分法总数是：

（Cn1n ·Cn2 n-n1·Cn3 n-n1-n2…Cnm n-n1-n2-…-nm-1）

若将n个不同元素分成m堆，各堆的元素个数分别是n1，

n2，…，nm个（n1，n2，…，nm互不相等，且n1+n2+…+nm=n）。则分法总数是：

（Cn1n ·Cn2 n-n1·Cn3 n-n1-n2…Cnm n-n1-n2-…-nm-1）·Amm

二、类型2：各堆内部不考虑顺序，堆与堆间也不考虑顺序

例4：把12本不同的书分成三堆，每堆4本，有几种不同的分法？

这是平均分堆问题，很多学生误解为C412·C48·C44，与例1混淆。因为各堆间不考虑顺序，如分法（a，b，c，d），（e，f，g，h），（i，j，k，l）与分法（e，f，g，h），（i，j，k，l），（a，b，c，d）是一样的。应除以重复数，即三堆的全排列数A33。

因此分法总数是（C412·C48·C44）÷A33=5775（种）。

一般的，将n个不同元素平均分成m堆，每堆r个元素（这里n=m×r），则分法总数是（Crn·Cr n-r·Cr n-2r…Crr）÷Amm种。

例5：把6本书分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本。有几种不同的分法？

本题与例3对比，本题属于堆与堆间不考虑顺序，不能乘A33。本题是不平均分堆问题，不会重复。因此分法总数是（C16·C25·C33）=60（种）。

三、类型3：各堆内部要考虑顺序，堆与堆间也要考虑顺序

例6：9个人排队，站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，有几种不同的排法？

解：先取后排。第一排有C29·A22种排法，第二排有C37·A33种排法，第三排有C44·A44种排法。因此排法总数是C29·A22·C37·A33·C44·A44=362880（种），即A99=362880（种）。

四、应用举例

例7：有红、黄、绿三种颜色的卡片，每种颜色各有分别标有A，B，C，D，E字母的卡片一张。现每次取出五张，要求字母不相同，且三种颜色齐备。问有几种不同的取法？

解：五张卡片要求颜色齐备，必须将五张卡片分成三堆。则只能是某种颜色一张，其余两种颜色各两张，或某种颜色三张，其余两种颜色各一张。因此取法总数是C13·C15·C24·C22+C13·C35·C12·C11=150（种）。

例8：将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配1名志愿者的方案有多少种？

解：将5名志愿者分成满足题意的3份有1，1，3与2，2，1两种情形，所以共有（■+■）A33=150（种）方案。

均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型，解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是非均匀分组，无序分组要除以均匀组数的阶乘数；还要考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数。

（作者单位 福建省福安市第二中学）