仿射Nappi-Witten代数的虚Whittaker模

徐崇斌

(1．温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035；2．华南理工大学理学院，广东广州 510640)

仿射Nappi-Witten代数的虚Whittaker模

徐崇斌1,2

(1．温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035；2．华南理工大学理学院，广东广州 510640)

利用Heisenberg代数的Whittaker模在仿射Nappi-Witten代数上定义了一类新模，称为虚Whittaker模，并且证明了该类模在一定条件下是个不可约模．

仿射Nappi-Witten代数；Heisenberg代数；Whittaker模

仿射Nappi-Witten代数nw是对四维Nappi-Witten代数关于其上某个不变双线性型的仿射化，即对相应的loop代数的一维中心扩张．对仿射Nappi-Witten代数的表示的研究最先是由E. Kirisis和C. Kounnas发起的[1]，最近，姜翠波等人又在文献[2]中对它的表示进行了非常系统的讨论，他们详细地研究了该代数上的Verma模（广义）与Wakimoto型模，并且构造了相应的顶点算子代数．

在文献[3]中，Kostant在任意有限维半单李代数g上定义了一类新模——Whittaker模，并且证明了这些模（在同构的意义下）与该代数的泛包络代数中心的理想之间存在一一对应．此后，许多与Whittaker型模相关的工作被许多学者陆续完成，例如M. Ondrus对量子包络代数Uq(sl2)的Whittaker模进行了分类[4]，G. Benkart研究了广义Weyl代数的Whittaker模[5]．实际上，在李代数的表示论中Whittaker模型是一类重要的模结构，它的重要性在R. Block对sl2的不可约模进行分类的工作中已经得到了充分体现[6]．

最近，K. Christodoulopoulou在Heisenberg代数上定义了一类Whittaker模[7]，此外，他还利用此类Whittaker型模通过抛物子代数诱导在无扭仿射李代数上定义了一类新的模结构（虚Whittaker模）．虽然仿射Nappi-Witten代数与经典的仿射李代数有着很大的差别，但两者都包含一个同种类型的Heisenberg代数，因为这个代数在定义无扭仿射李代数上的虚Whittaker模时起到了决定性的作用，所以在仿射Nappi-Witten代数上定义虚Whittaker模的想法就非常自然了．本文首先通过增加一个导子和一些李运算得到一个更大的代数，仍然称为仿射Nappi-Witten代数，然后用类似于文献[7]中的方法定义了该代数上的一类模，也称为虚Whittaker模，并给出了该模不可约的一个充分条件．

1 扩张Heisenberg代数上的Whittaker模

2 仿射Nappi-Witten代数上的虚Whittaker模

在本小节里将定义并研究仿射Nappi-Witten代数上的虚Whittaker模．首先需要回顾一下该代数的结构．

[1] Kiritsis E, Kounnas C. String propagation in gravitational wave backgrounds [J]. Phys Lett B, 1994, 594: 368-374.

[2] Bao Y X, Jiang C P, Pei Y F. Representations of affne Nappi-Witten algebras [J]. J Alg, 2011, 342(1): 111-133.

[3] Kostant B. On Whittaker vectors and representation theory [J]. Invent Math, 1978, 48: 101-184.

[4] Ondrus M. Whittaker modules for Uq(sl2) [J]. J Alg, 2005, 289: 192-213.

[5] Benkart G, Ondrus M. Whittaker modules for generalized Weyl algebras [EB/OL]. [2012-03-02]. http://arxiv.org/abs/ 0803.3570.

[6] Block R. The irreducible representation of the Lie algebra sl2and of the Weyl algebra [J]. Adv Math, 1981, 39(1): 69-110.

[7] Christodoulopoulou K. Whittaker modules for Heisenberg algebras and imaginary Whittaker modules for affine Lie algebras [J]. J Alg, 2008, 320: 2871-2890.

[8] Kac V G, Raina A K. Bombay Lectures on Higest Weight Representations of Infinite-Dimensional Lie Algebras [M]. Singapore: World Scentific, 1987: 8-10.

Virtual Whittaker Module on Affine Nappi-Witten Algebra

XU Chongbin1,2
(1. School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035; 2. School of Sciences, South China University of Technology, Guangzhou, China 510640)

Based on Whittaker module on Heisenberg algebra, the paper constructs a new kind of module on the affine Nappi-Witten algebra which is called virtual Whittaker module and proves that such sort of module is irreducible under a certain condition.

Affine Nappi-Witten Algebra; Heisenberg Algebra; Whittaker Module

O152.5

A

1674-3563(2013)03-0006-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2013.03.002 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2012-05-02

徐崇斌(1977- )，男，湖北黄梅人，讲师，硕士，研究方向：代数学