基于迭代校正法的自动着陆轨迹快速生成算法

韩 鹏 单家元 孟秀云

北京理工大学飞行动力学与控制教育部重点实验室， 北京 100081

重复使用运载器(Reusable Launch Vehicle, RLV)的整个再入过程可以分为3个阶段：大气层再入段，末端能量管理段与自动着陆段(Approach & Landing,A&L)[1～3]。自动着陆段一般从高度3000m的自动着陆接口(Auto Landing Interface，ALI)处开始，下滑减速直到停止于跑道的整个过程[4]。由于该阶段RLV作无动力滑行，只能通过减速板和舵面进行操纵，故要实现在预定轨道的精确着陆，对该阶段的轨迹设计有较高要求[5]。

航天飞机自动着陆段的高度轨迹剖面包括：陡下滑段，圆弧拉起段，指数过渡段，浅下滑段[6]。尽管航天飞机自动着陆段的制导策略经验证有效并可行，但是它依赖于事先离线计算并储存好的若干参考轨迹。比如，当自动着陆段接口处RLV的重量变大时，将事先存储好的标称陡下滑段的航迹倾角减小2°；当遇到逆风情况时，将标称陡下滑段向跑道移近300m。航天飞机的策略并不能根据当时的状态快速生成新的参考轨迹，在初始条件扰动较大时缺乏鲁棒性。

本文提出了一种基于迭代校正技术的轨迹生成方法，可以根据ALI处不同的初始状态，快速生成可行的自动着陆段轨迹，成功到达预定跑道处并满足触地速度要求。本文用唯一的轨迹剖面系数(航迹倾角γflare)表征整个自动着陆段的参考轨迹。通过迭代校正法定此系数，使整个自动着陆段的轨迹满足端点处的状态约束。

1 运动方程的建立

在对RLV进行自动着陆段轨迹设计时，其纵向平面内的运动方程为[7]：

(1)

(2)

(3)

(4)

式(1)～(4)中，m，v分别表示RLV的质量与速度；γ表示航迹倾角；h表示高度；x表示RLV沿着跑道方向的位置。S表示RLV的参考面积；q代表动压，表达式为q=1/2ρv2； 大气密度表示为ρ=ρ0e-βh，ρ0代表海平面处的标准大气密度，β代表大气指数常数。D，L为RLV受到的阻力与升力，定义为：

D=CDqS

(5)

L=CLqS

(6)

上式中，CD与CL分别表示阻力系数与升力系数，本文的阻力系数CD与升力系数CL采用文献[8]中介绍的模型：

CD=kD0+kD1α+kD2α2

(7)

CL=CL0+CLαα

(8)

2 轨迹剖面描述

图1表示了本文自动着陆段的参考轨迹，由几段高度剖面连接而成：捕获段、陡平衡滑翔段、圆弧拉起段、平滑着陆段。捕获段是自动着陆段的第一阶段，RLV沿此阶段的高度剖面飞行，并在xcapt处与陡平衡滑翔段相切；当x≥xcapt时，RLV过渡到陡平衡滑翔段，此阶段保持某一恒定的航迹倾角滑翔，使动压几乎保持常值；当高度下降到hPU时，RLV进入圆弧拉起段，轨迹倾角逐渐减小；当RLV到达xflare处时进入平滑着陆段，此阶段将RLV从高度hflare处引导至自动着陆段的终点xTD处。各个阶段接口处的高度与斜率dh/dx应保持相等，从而使整个自动着陆段平滑连接。

图1 自动着陆段参考轨迹示意图

2.1 捕获段

捕获段的高度剖面用以下三次多项式表示：

href=a0+a1s+a2s2+a3s3

(9)

式(9)中，s表示相对ALI处的地面轨迹距离(如：s=0表示自动着陆段的起点)，高度相对于地面轨迹距离的导数为航迹倾角的正切：

(10)

a0，a1，a2，a3为多项式的系数，可由以下4个条件确定：

1)s=0时，捕获段开始时RLV的高度为hALI；

2)s=0时，捕获段开始时RLV的航迹倾角为γALI；

3)scapt=xcapt-xALI时，捕获段结束时RLV的高度为hcapt，本文选取hcapt=2/3*hALI；

4)scapt=xcapt-xALI时，捕获段结束时RLV的航迹倾角为γSGS。

由以上4个条件可得：

(11)

求解上式可以得到a0，a1，a2，a3四个多项式系数。一旦得到捕获段参考高度剖面以及航迹倾角剖面后，开环参考攻角指令便可生成。首先tanγref对时间求导得到：

(12)

利用链式法则，将式(10)对时间求导得到：

(13)

将式(2)和(4)代入到式(12)和(13)中，令式(12)与(13)相等，可得到参考升力系数：

(14)

2.2 陡平衡滑翔段

在陡平衡滑翔段，RLV保持恒定的航迹倾角γSGS滑翔，故线性的参考高度剖面为：

href=tanγSGS(x-xzero)

(15)

(16)

2.3 圆弧拉起段

当RLV下降到高度hPU时进入圆弧拉起段，航迹倾角从γSGS逐渐变化到γflare(如图1所示)。参考高度剖面为：

(17)

上式中，xC与hC表示圆弧拉起段的圆心坐标值。RLV在此阶段进行机动时，产生的向心加速度为：

(18)

将式(2)带入上式可得参考升力系数为：

(19)

2.4 平滑着陆段

当x≥xflare时，RLV进入到自动着陆段的最后一个阶段：平滑着陆段。与式(9)类似，平滑着陆段的高度剖面也采用一个三次多项式表示，s表示相对xflare的距离。多项式的4个系数可由以下4个条件确定：

1)s=0时，平滑着陆段开始时RLV的高度为hflare；

2)s=0时，平滑着陆段开始时RLV的航迹倾角为γflare；

3)sflare=xTD-xflare时，平滑着陆段结束时RLV的高度为0；

4)sflare=xTD-xflare时，平滑着陆段结束时RLV的航迹倾角γTD。

(20)

3 轨迹生成算法

本文的轨迹生成算法主要包含2部分：1)陡平衡滑翔段参数计算；2)反向轨迹推演。首先计算陡平衡滑翔段的航迹倾角γSGS，RLV在此航迹倾角下进行“伪平衡”滑翔，使动压几乎保持常值。一旦γSGS确定好之后，从需求的着陆条件进行反向轨迹推演，一直到达圆弧拉起段的起点处。本文的轨迹生成算法通过迭代校正唯一的系数(平滑着陆段起点处的航迹倾角γflare)，直到轨迹推演终点处的动压满足陡平衡滑翔段的动压值。

3.1 陡平衡滑翔段参数计算

在陡平衡滑翔段参数计算阶段，需求出控制指令α，使RLV在此指令下保持恒定的航迹倾角γSGS滑翔并且动压几乎保持常值。

首先将动压对时间进行求导：

(21)

因为

(22)

将式(1)、式(3)与式(22)代入式(21)，可得：

(23)

(24)

联立式(23)～(24)可得到一个非线性方程组，对其进行求解即可得到在此阶段需要的攻角指令α与陡平衡滑翔段的航迹倾角γSGS。需注意的是，在实际飞行过程中，RLV在恒定的轨迹倾角γSGS下滑翔时，动压不会“严格”地保持恒定不变，这是因为大气密度会随着飞行高度的变化而发生轻微的变化。本文对非线性方程组进行求解时，式中的大气密度ρ选取某一特征高度处的密度。本文选取在陡平衡滑翔段中点左右处(h=1500m)的大气密度。在实际飞行过程中，RLV在由此得到的攻角指令α进行航迹倾角为γSGS的滑翔时，动压会发生轻微的变化，但“几乎”保持常值。

3.2 反向轨迹推演

在反向轨迹推演阶段，首先从已知的触地条件反向数值积分dv/dx到平滑着陆段的起点处，可得到整个平滑着陆段的速度变化情况。速度微分方程dv/dx通过式(1)除以式(4)得到。

平滑着陆段的参考高度轨迹由端点处的高度与航迹倾角，及整个阶段的地面轨迹距离决定。而触地时的航迹倾角γTD可由需求的触地速度与下沉率计算得到，触地时的高度hTD显然为0。故平滑着陆段起点处的高度hflare与航迹倾角γflare及地面轨迹距离sflare3个参数决定了此阶段的高度剖面。为使算法简便可行，本文固定其中的2个参数而仅通过迭代一个参数γflare确定整个高度剖面。固定好的hflare选取为50m，sflare由下式确定：

(25)

式(25)为由式(9)定义高度剖面的最长地面轨迹，由式(9)～(10)计算得到。

4 轨迹跟踪算法

4.1 系统组成

图2表明了自动着陆段的系统组成。方程(1)～(4)并未考虑飞行器姿态运动的动态过程。在本文的仿真过程中，假设经控制系统校正后，纵向的俯仰运动是一个理想的二阶系统，俯仰角速度的控制指令由过载指令误差的比例项生成：

(26)

俯仰角速度的响应为：

(27)

其中，ωn=10，ξ=0.707。俯仰角速度经积分后可得到俯仰角θ，减去RLV的航迹倾角γ，即可得到攻角(α=θ-γ)。接下来可对式(1)～(4)进行数值积分，本文采用四阶龙格库塔法，步长选取为0.1s。

图2 自动着陆段的系统组成

4.2 制导过载指令

(28)

(29)

上式中，Δh=href-h。PID控制器的参数在整个自动着陆段均采取常数，分别为：Kp=0.03，KI=0.003，KD=0.09。

5 仿真结果分析

5.1 标称情况仿真分析

表1 标称情况下参考高度轨迹参数

图3表现了标称情况下动压的变化曲线图，与预期一样，在t<38s时，RLV在陡平衡滑翔条件下动压几乎保持常值。图4表现了标称情况下参考轨迹的航迹倾角γref与实际的航迹倾角γ的对比图，图5表现了标称情况下参考攻角指令α*与实际攻角α的对比图。航迹倾角曲线在整个过程中取得了良好的跟踪效果，相比之下，在参考轨迹各部分切换时，攻角跟踪误差较大，但是很快就能将误差调节为0。

图3 标称情况下动压q的变化曲线

图4 参考轨迹的航迹倾角γref与实际航迹倾角γ的对比图

图5 参考攻角指令α*与实际攻角α对比图

5.2 对初始状态扰动的仿真分析

为了验证本文的轨迹生成算法的有效性与快速性，在对自动着陆段接口处状态进行一系列散布的条件下进行仿真。表2总结了在不同的高度、速度、航迹倾角下，运用本文的算法得到的仿真结果。其中算例4为5.1节说明的标称情况。

结果表明，本文的迭代校正算法在2～7次就可以收敛，成功生成可行的参考轨迹，仿真时间根据迭代次数在2～6s内。

图6与图7表示表2中7个算例的高度轨迹曲线与速度曲线。从图中可以看出实际曲线跟参考曲线几乎重合，显示在跟踪过程中误差很小。触地时实际的速度大小在(75.5～82.2)m/s之间，相对于80m/s的需求触地速度，末端的误差也较小。综上所述，本文的设计方法可满足轨迹设计要求。

表2 自动着陆接口处不同状态下的仿真结果

图6 不同初始状态下的轨迹曲线

图7 不同初始状态下的速度曲线

6 结论

本文为RLV在自动着陆段提出了一种快速的轨迹生成算法。该算法主要包括2部分内容：1)陡平衡滑翔段航迹倾角的确定，使RLV在此阶段获得几乎常值的动压；2)通过迭代校正算法确定平滑着陆段起点处的航迹倾角，从需求的着陆条件进行反向轨迹推演，直到满足陡平衡滑翔段的动压值。本文提出的方法的优点在于并不依赖于事先离线计算好的轨迹，可根据具体的RLV状态快速生成参考轨迹。仿真结果验证了该算法的快速性，有效性与鲁棒性。

[1] De Ridder S, Mooij E. Terminal Area Trajectory Planning Using the Energy-tube Concept for Reusable Launch Vehicles[J].Acta Astronautica，2011, 68(7-8): 915-930.

[2] 张军，黄一敏，杨一栋.RLV末端能量管理段三维制导轨迹推演研究[J].系统工程与电子技术，2010, 32(8): 1727-1731.(Zhang Jun，Huang Yi Min，Yang Yi Dong. Research on 3-D Guidance Trajectory Propagation of Terminal Aera Energy Management for RLVs[J]. Systems Engineering and Electronics, 2010, 32(8): 1727-1731.)

[3] Kluever C A, Horneman K R. Terminal Trajectory Planning and Optimization for an Unpowered Reusable Launch Vehicle[C]. AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, San Francisco, USA, August 15-18, 2005.

[4] 张军，杨一栋，曹东.航天飞机自动着陆技术概念研究[J].航天控制，2004(2): 2-5.(Zhang Jun, Yang Yi Dong, Cao Dong. Concept Research for Space Shuttle Autolanding[J].Aerospace Control, 2004(2): 2-5.)

[5] 车军，张新国.自动着陆精确轨迹跟踪控制[J].北京航空航天大学学报, 2005, 31(009): 975-979.(Che Jun, Zhang Xinguo. Exact Trajectory Tracking Control of Automatic Landing[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2005, 31(009): 975-979.)

[6] Hull J R, Gandhi N, Schierman J D. In-flight Taem/final Approach Trajectory Generation for Reusable Launch Vehicles[C].InfoTech at Aerospace: Advancing Contemporary Aerospace Technologies and Their In-tegration,Arlington, USA, September 26-29, 2005.

[7] 沈宏良，陶矩，魏立新，等.航天飞机自动着陆轨迹优化设计[J].飞行力学, 2004, 22(001): 10-13. (Shen Hongliang, Tao Ju, Wei Lixin, et al. Optimal Design of Autolanding Trajectory for a Space Shuttle[J]. Flight Dynamics, 2004, 22(001): 10-13.)

[8] Jiang Z, Ordonez R. On-line Robust Trajectory Generation on Approach and Landing for Reusable Launch Vehicles[J]. Automatica, 2009, 45(7): 1668-1678.