三区流体复合注水井试井模型研究

刘佳洁，孟英峰，李皋 （西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室，四川 成都610500）

伍浩文 （中石油冀东油田分公司陆上油田作业区，河北 唐山063200）

刘艳艳 （中石油新疆油田分公司百口泉采油厂，新疆 克拉玛依834011）

近年来，针对油、水两相流动获得了压降及压力恢复试井分析方程，注水井试井技术得到较大发展［1～4］。文献 ［5，6］研究注水井的压力动态特征变化，文献 ［7］运用油田320口注水井试井曲线特征研究注水油藏的地质特征，文献 ［8，9］研究了相渗曲线以及相渗曲线对注水井油水两相流试井曲线的影响。以上注水井试井研究在油田得到广泛应用，主要用于分析注水井地层基本物性参数，但这些研究以单相流渗流理论为基础，缺乏考虑含水率、水驱前缘等参数的影响，而笔者运用经归一化处理的相渗曲线建立含水饱和度与相对渗透率关系，根据质量守恒原理，运用油水两相流渗流理论，建立注水井三区流体复合试井模型，用于分析注水井储层基本物性参数，同时可用于分析注水油藏纯水驱前缘位置、油水两相驱前缘位置、含水饱和度、含水率等参数，更为全面地认识注水井注水情况和地层物性参数。

1 相对渗透率与含水饱和度关系的建立

对一个具体的油藏，由于取心分析的岩样具有不同的渗透率和孔隙度，所得的相渗曲线也不相同，因此应按照油藏的特征，选择一些有代表性的相渗曲线，进行归一化处理，从而得到代表整个油藏的平均相对渗透率曲线，从而消除曲线的不同束缚水饱和度与残余油饱和度的影响。

油水归一化相对渗透率定义及表达式为［10］：

标准化之后相渗曲线为上凹型曲线，可用如下幂函数描述：

式中：c、d为系数。根据岩心试验，计算出每一块岩心的c、d值，将油层岩心的c、d值平均，即得到油气藏标准化相渗透率，然后通过下式反求油气藏的相对渗透率曲线。

油水相对渗透率比值与含水饱和度之间满足指数式关系［11］：

式中：a、b为系数。根据多块岩心归一化处理后的结果数据，做出该井油水相对渗透率比值与含水饱和度关系曲线，得到a和b值，从而建立含水饱和度与相对渗透率关系。

图1 注水井三区流体复合物理模型

2 物理模型

模型假设如下：①圆形等厚油藏中心一口注水井定量注水；②注入流体径向流入地层，渗流为等温达西渗流；③油、水和岩石微可压缩，其压缩系数、流体黏度均为常数；④考虑井筒储集效应和表皮效应的影响；⑤外边界条件可以是无穷大地层、圆形封闭或圆形定压。⑥模型一区为水相、二区为油水两相、三区为油相，地层为均质地层。

3 数学模型及求解

3．1 无量纲量定义

无量纲压力：

无量纲时间：

基于有效井径定义的无量纲距离：

无量纲井筒储存系数：

综合压缩系数之比随含水饱和度的变化而变化，故由RCc＝Cwt／Ct推导得：

式中：pD为无量纲压力；K 为地层渗透率，D；h为地层厚度，m；μw为注入水黏度，mPa·s；q为注水量，m3／d；B为注入水体积因数，1；pi为原始地层压力，MPa；tD为无量纲时间；t为注水时间，s；为岩石孔隙度，1；Cwt为水区综合压缩系数，MPa－1；rw为井筒半径，m；rD为无量纲半径；S为表皮因数；CD为无量纲井筒储集系数；C为井筒储集系数，m3／MPa；RCc为水区与油水两相区综合压缩系数比，1；Ct为油水两相区综合压缩系数，MPa－1；Cot为油区综合压缩系数，MPa－1。

3．2 数学模型

结合物理模型，根据渗流力学理论，基于以上无量纲量定义，可建立如下无量纲数学模型。

1）渗流流体微分方程

2）内边界条件

3）初始条件

4）连接条件

5）外边界条件

式中：p1D、p2D、p3D分别为一区、二区、三区无量纲压力；Rμow为油与水的黏度比，1；RKow为油相相对渗透率与水相相对渗透率比值，1；RwD为无量纲纯水驱前缘；Rw为纯水驱前缘，m；RowD为无量纲油水两相驱前缘；Row为油水两相驱前缘，m；ReD为无量纲外边界距离。

3．3 数学模型求解

对式（10）～ （21）进行基于tD／CD的拉普拉斯变换，式（10）～ （12）的通解分别为：

将式（22）～（24）代入拉氏空间中内边界条件及连接条件得：

莱文莱特函数［11］：

式中：fw为油水两相区的含水率，1。联立相对渗透率与含水饱和度关系式（9）以及式（25）～（31）及拉氏空间中外边界条件利用高斯消元法［12～14］，可求出拉氏空间pwD解，该解含纯水驱前缘位置Rw、油水两相驱前缘位置Row、含水饱和度Sw、含水率fw等参数。

4 数值反演计算样版曲线

利用Stehfest［15，16］数值算法进行数值反演，得到定注入量实空间无量纲井底压力动态解pD，从而利用数值解编程绘制pD～tD／CD与pD＇tD／CD～tD／CD的无量纲试井样版曲线。

图2为CDe2S＝1000，不同含水率下三区流体复合无穷大外边界注水井试井样版曲线。图3为CDe2S＝1000，不同含水饱和度下三区流体复合无穷大外边界注水井试井样版曲线。如图2所示，第Ⅰ段是井筒储集效应和表皮因数影响段，第Ⅱ段压是地层中水区径向流影响段，第Ⅲ段是油水两相区影响段，第Ⅳ段是外边界影响段。由图2、3可知，含水率越小和含水饱和度越高，油水两相区与水相区的流体性质差异越大，第Ⅲ段油水两相区影响段压力和压力导数曲线下掉越严重。

图2 不同含水率三区流体复合注水井试井样版曲线

图3 不同含水饱和度三区流体复合注水井试井样版曲线

图4 为CDe2S＝1000，不同水驱前缘Rw下三区流体复合无穷大外边界注水井试井样版曲线。如图4所示，Rw越大第Ⅲ段油水两相区影响段越往后移。图5为CDe2S＝1000，不同油水两相区前缘Row下三区流体复合无穷大外边界注水井试井样版曲线。如图5所示Row越大，第Ⅳ段油水两相区影响段越往后移。

图4 不同水驱前缘三区流体复合注水井试井样版曲线

图5 注水井三区流体复合油水两相驱前缘样版曲线

图6 试井解释双对数图

5 实例分析

以某油田某注水井为例。该井压力降落测试前日注水量为50m3。储层基本参数为：油层中深2203m，井半径0．062m，油层有效厚度5m，孔隙度0．2，原油黏度4．85mPa·s，注入水黏度1mPa·s，原油体积因数1．08，原油压缩系数8×10－3MPa－1，注入水压缩系数0．4×10－3MPa－1， 地 层 岩 石 压 缩 系 数 为0．001×10－3MPa－1。

以该井岩心水驱油试验为基础，根据式（1）～ （9）经过归一化处理得油水相对渗透率比值和含水饱和度指数关系式为Kro／Krw＝2755e－13．4Sw，将该关系式代入三区流体复合注水井试井模型。根据该井注水情况、油藏地质特征、压力和压力导数曲线形状特征，运用该模型拟合测试数据得该井注水情况与地层参数如下：两相区含水率fw＝58．2%，两相区含水饱和度Sw＝49．8%，地层渗透率K＝22．6mD，表皮因数S＝2．1，纯水驱前缘Rw＝91m，油水两相驱前缘Row＝193m，油水相对渗透率比RKow＝3．48。其双对数拟合图如图6所示。

6 结 论

1）运用油水两相流渗流理论，结合经归一化处理的含水饱和度与相对渗透率关系，建立三区流体复合注水井试井模型，利用拉普拉斯变换和Stehfest数值反演方法求解了井底压力响应曲线。

2）利用该模型图版拟合实际测试资料，拟合结果说明该模型可分析注水油藏纯水驱前缘位置、油水两相驱前缘位置、含水饱和度、含水率、渗透率等重要参数，所得结果为油藏如何进一步注水开发提供依据。

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