借助操作，探寻知识本源，亲历建构过程

王瑶洁

除法竖式是一种比较特殊的计算形式，是人类在长期的知识积淀中产生的智慧结晶。

在苏教版教材中，把除法竖式的学习安排在了二年级上学期的口诀求商里面，这部分内容如果放手让孩子自己去研究和发现其中的奥秘、建构新的知识体系几乎不太可能，孩子们往往在自己已有知识的基础上——已学过的竖式基础上迁移，绝大多数会得出与加法、减法和乘法类似的竖式，并为自己的发现和创造兴奋不已，如果这样盲目地让孩子自己去做、做错的话，其实是一种无效、负面的迁移，不仅产生了不必要的、错误的第一认知，还不能彻底解答孩子们那个“我究竟错在哪里了，为什么不能这样做”的疑问。

对于二年级的学生而言，除法竖式确实非常抽象，所以，教学中一般都是采取讲解和示范的形式，之所以要先除、再乘、最后减这样做则是出于要求，是因为规则，是“要”这样做的，而不去考虑和解决孩子们想不通的“为什么除了之后还要去乘、去减”“和原来一样列竖式也能算出结果，可为什么不能那样列了呢”这些问题。

一味的模仿只能知其然，却不能知其所以然。数学学习的过程不能只是一个简单的模仿和复制的过程，而是一个不断运用自己的知识经验进行合理自我建构的过程。学生需要做的不是去复制别人的数学，而是在自己理解的基础上建构属于自己的数学。

一、体验竖式的产生

1.实物操作，初步感知

师：除法就表示把一些物体“平均分”，现在我们要把这里的7个苹果按要求平均分配，你们想来试试吗？

师：数数一共有几个苹果？每2个分一份，可以怎么列式？（7÷2= ）

师：我们一起来分一下，演示分的过程。

追问：还能再分吗？我们实际分了这7个中的几个？

师：谁来完整叙述分的过程？

生：……

师：请你自己用圆片分一下，边分边说说是怎么分的。

【设计意图：操作入手，感受起源

不需要太花哨的方式，首先就从简单、基本的实物操作——“平均分”的过程中引入，根据平均分之后经常会出现的实际情况：“分不完”作为感受竖式产生的基本切入点，而不是以“正好分完”这个特例作为例题。

如果从“正好分完”的特例入手，就很难凸显计算实际分完的以及剩余的必要性；而从“分不完”的情况入手，更能让学生在操作的过程中切身感受除法竖式产生的根本，感受之所以要去计算“实际分了几个”的必要性，感受列除法竖式之所以这样列的道理：正是因为在平均分的过程中很有可能会遇到“分不完”的情况，所以需要关注原来分的总个数在平均分了之后的情况，不能只要分了就可以马上结束，而要去计算实际分掉了多少，还留下了多少。切入点的转换更有利于学生理解除法竖式特殊形式的来源和必要性。】

2.完整展示竖式

师：我们刚才这样分的过程和结果，可以用竖式来表示。

（实物投影）

师：看了这个竖式，小朋友觉得怎么样？

生：和以前学的不一样。

师：是啊，这个竖式很奇怪，和我们以前学的加法、减法、乘法的竖式都不一样。

师：除法的竖式为什么要这样来列呢？这样列的道理是什么？我们来好好研究一下，结合我们分的过程仔细看看，你看懂了什么？和你身边的小朋友讨论讨论。

指名发言，并根据回答在竖式旁做上注解：

[……分了3份

……要分的7个

……实际分了的

……还剩的][ 3

7

6

1] [2] [每2个一份 ……]

【设计意图：正确呈现，激疑比较

在初步感受之后就马上“完整地展示竖式”，让学生与已有的加法、减法、乘法的竖式形成强烈的对比与冲突，形成清晰、正确的首次认知；然后再以问题“除法的竖式为什么要这样来列呢？那它这样列竖式的道理究竟在哪里”引导学生去思考、去探究除法竖式的每一步的实际含义。

这样以实际动手“分”的过程和结果作为感性经验和铺垫，以完整的竖式作为比照、引导思维的对象，同时以同学之间发言、思维的相互碰撞为借点，在相互的补充、推敲中不断完善对除法竖式的正确认知。整个过程注重数与形、操作与算理的互相补充和推动，使操作与竖式的含义紧密、完美地结合在一起。】

3.重新板书竖式

按照竖式的书写顺序重新完整板书书写的过程。

追问：这里的“6”表示什么含义？它是怎么来的？

师：结合自己平均分的过程，谁再来完整说说除法竖式的含义？

师：看着竖式，请你和同桌说说整个除法竖式含义。

4.师小结

我们可以用竖式来清楚地表示这样平均分的过程和结果。

【设计意图：讲解示范，完整建构

通过让学生用“讲”的方式参与数学模型的逐步建立，感受除法竖式的特殊之处、理解之所以这样列的道理所在，逐步得到一个完整、正确的第一认知；然后在此基础上教师把竖式怎么书写的过程完整、清晰地呈现在孩子们面前，结合规范的讲解和示范，进一步在理解的基础上让学生体会“我们可以用竖式来清楚地表示这样平均分的过程和结果”。把知识进行梳理和系统化，理解除法竖式之所以与加、减、乘法竖式不同的道理，彻底解答孩子们的 “为什么需要这样做”的疑问，让学生把新知自然而然地纳入了自己认可的知识系统之中。】

二、自己尝试竖式

1.实物操作，初步感知

师：这里还有6个苹果，你能把它们平分成2份吗？用你的圆片分一分，并说说你分的过程和结果。

生：6个苹果，把它们平均分成2份，每份分得3个。

追问：分完了吗？实际分了几个？

生：全部分完了，实际就分掉了6个苹果。

师：谁再来完整地说说你分6个苹果的过程和结果？

生：6个苹果，把它们平均分成2份，每份分得3个，实际就分掉了6个苹果，正好全部分完了。

2.模仿写竖式

师：我们一起来列竖式，说说竖式中先写什么。竖式中的除号是怎么写的？

师：自己尝试用竖式来表示刚才“全部分完”的整个过程。

展示、交流尝试结果。

比较两种可能出现的竖式：

3.追问

你认为A和B哪个竖式比较好？为什么？

生：A没有列完。

生：B更完整。

师：B是完整地表示了我们分的过程和结果，因此是一个非常完整、正确的竖式。

追问：竖式里两个“6”的含义一样吗？“0”在这里表示什么意思？

生：上面的“6”表示我们要分6个苹果，下面的“6”是表示实际分掉了6个；“0”就表示全部分完，没有遗漏了。所以竖式B更加合适，反映了整个平均分的过程和结果。

4.校对自己的竖式，对照竖式说说自己分的整个过程

【设计意图：尝试创新，完善认知

最后，通过孩子在模仿中进行创新，自己进行新知6÷2的竖式的探究和尝试。利用学生出现的两种不同竖式的书写，进行思考和比较，从中进一步明确：平均分的时候不仅要考虑每份分得的情况，还要关注分的总数最后的情况，虽然总数有时是正好分完的，但也要进行验证，才能更加完整地表示整个分的过程。在这样的辨析中进一步细化了数学模型，也让竖式的学习得到了真正完善。】

在整个设计中，我们借助操作，在平均分的现实情况下感受分的结果，通过比较层层深入，去探究知识的本源，让学生经历知识建构的全过程。

这样，除法竖式的学习是以孩子能够理解的——具体操作的形式出现在他们的面前，并且从他们的角度去思考、去比较、去建构，层层深入，让学生真正经历知识探究的全过程，这样除法竖式就能得到学生的认可，不仅知其然，更知其所以然。更多地让学生“经历数学的学习过程”，就能在潜移默化中深入孩子的心灵，就能让孩子获得真正的发展。