地震破坏供水管网低压水力分析

侯本伟　杜修力

摘要：

供水管网遭受地震破坏后会产生渗漏和爆管，在震后的紧急救援和修复阶期，供水管网处于低压带漏损供水状态。根据断开管段的沿程水头损失关系，提出一种在断开管段端点附加扩散器模型模拟断开点漏水，简化了断开管段的建模方法；将压力决定的节点配水量模型加入到水力分析中，避开了低压管网水力分析中的节点负压问题；利用线性搜索与回溯算法控制管网节点非线性方程组的迭代步长，确保了管网低压水力分析的全局收敛性。此方法具有建模简单，计算量小，全局收敛速度快的特点；通过示例计算及结果比较，验证了其有效性。

关键词：

地震破坏管网；水力功能分析；扩散器模型；低压分析；全局收敛算法

城市供水管网遭受地震破坏后，会同时产生大量渗漏和爆管事故点[13]，美国供水协会（AWWA）将地震产生管线破坏分为渗漏和断开两类[4]。由于无法及时修复，在震后紧急救援阶段，供水管网将处于带漏损供水状态。与日常供水分析中将断开管段隔离后进行事故后管网供水能力评价不同，震后管网水力分析模型中包含断开管段的水力模拟[57]。破坏管网漏水量增加，导致管网供水压力下降，用户供水量不足，此时的用户配水量可由压力决定的节点供水量（Pressure Dependent Demand， PDD）关系模拟[89]。

在管线破坏点建模方面，陈玲俐等[10]只考虑管线渗漏，并未计及断开管线的漏水量。Hwang等[11]在模拟渗漏与断开点时均利用扩散器模型，断开点处为开口面积为管段截面积的有压孔口出流，但其水力学模型原理存在错误。Javanbarg[6]采用管段震前流量模拟断开点出流，其漏水量模拟结果偏小。Cornell大学开发的管网震后水力分析程序GIRAFFE[5]采用附加空蓄水池模拟断开管段出流，但其拓扑结构较为复杂。为简化断开管段建模，本文提出一种在断开管段上游端点附加扩散器模型。

在震后管网低压水力分析方面，GIRAFFE[5]、高惠瑛[12]均采用节点固定需水量模型，当计算结果中存在节点负压时，将负压节点处理后再重新进行管网水力分析直至无负压节点；对单个破坏工况，此种分析方法需进行多次试算才能得到合理的结果。陈玲俐等[10]，柳春光等[13]采用PDD模型进行水力计算，但其并未指出采用PDD模型时管网水力求解中的收敛问题。己有的PDD模型多为分段函数[9]，这会使管网非线性水力方程组迭代求解方法的收敛性能下降[1416]；采用本文提出的附加扩散器模型计算断开管段漏水量时，也会使其节点的需水量函数复杂化。因此，需要应用全局收敛算法求解管网水力方程组。Giustolisi等[17]采用启发式搜索确定牛顿迭代步长修正因子，以确保收敛；Siew等[16]利用全局梯度算法（GGA）进行管网水力分析时，采用线性搜索与回溯方法控制迭代步长。本文将线性搜索与回溯方法应用到管网节点流量非线性方程组的迭代求解中，以确保管网低压水力分析方程组求解的全局收敛。

侯本伟，等：地震破坏供水管网低压水力分析

1破坏管网水力分析的扩散器模型

单个渗漏点可认为是小孔口自由出流（图1）[18]，渗漏点水流量可由该点的管内压力水头与孔口处局部水头损失的关系得到。渗漏流量表达式为：

式中： PL为压力水头，m；C为单位转换系数，当QL和AL单位分别为m3/s和m2时， C=4.427。μ为孔口流量系数，其取值与孔口形状、面积有关，对于薄壁小孔口取μ=0.62；根据孔口出流试验，μ值范围可取为0.60～0.90，这与AWWA[19]、Tabesh等[20]根据管网漏损观测数据建立的模型相符。

图1渗漏管段出流示意图

图2断开管段出流示意图

管段断开点如图2（a）所示，原有管线断开为两段不连续的管段，且不能输送水流。断开点L处的高程为zL，压力水头为0，其漏水量应通过断开管段的沿程水头损失关系计算，而不可在断开处增加开口面积为管段截面积的扩散器模拟。断开点的漏水量为断开管段上游端点（图2（a）中A点和B点）至断开点（图2（a）L点）的单向出流QL1和QL2。因此，在管网水力分析模型中，可以假定断开点处有两个高程为zL的空蓄水池与A点和B点相连（图2（b）），其连接管段上设置A→L和B→L的单向止回阀，计算得到的2个蓄水池的总蓄水量便为断开管段漏水量。GIRAFFE[5]采用了这种分析模型，此模型用两根管线和两个附加节点（空蓄水池）模拟1根断开管线，改变了初始管网的拓扑结构并增加了其复杂程度。

为简化断开管段的建模，本文提出一种将断开管段漏水量附加在其上游节点的模型。图2（a）所示断开管段的漏水量还可以通过其长度（λl或 （1-λ）l）上的沿程水头损失关系得到。对断开管段AL分析：

与EPANET中节点附加扩散器流量的思路相同，可以将式（3）的漏水量附加在断开管段的上游节点，如图2（c）所示，此时在节点A（B）上同时有节点自身流量QA（QB）和扩散器流量QL1（QL2），此模型在断开管线的两个端点设置附加流量，同时将断开管线删除，管网拓扑结构较为简单。

式（4）实质上是一种PDD模型，但EPANET中并不支持节点PDD模型的分析，在管网水力分析时，节点扩散器由与该点连接的短粗管及空蓄水池模拟（图2（c）转化为图2（b））。与EPANET的扩散器求解原理不同，为了实现图2（c）简化模型的水力求解，本文采用基于PDD模型的管网水力分析方法。

2压力决定的节点供水量（PDD）模型

传统的配水管网水力分析中假设管网压力均满足用户要求，即用户需水量需求得到全部满足，管网节点配水量固定（图3）。地震作用下，由于管段泄漏、泵站故障等原因会导致管网压力过低而不能提供足够的节点需水量，上述假设不成立，此时的节点配水量是与节点压力相关的。若仍用固定配水量代替实际配水量进行管网水力计算，水力方程组迭代过程中基于节点流量连续性的假设，求解满足节点固定需水量的结果，会降低节点的总水头，出现不符合实际情况的节点负压。

在地震破坏管网水力分析方法中，解决负压问题的办法有两种：1）对负压节点处理（删除该节点或减小需水量），然后再对整个管网的进行水力分析，直至没有负压节点；2）采用PDD模型确定节点配水量，进行管网水力分析。第1种方法需要进行多次试算才能得到合理的结果，在利用随机模拟评价震后管网功能及优化设计时会导致过多的计算量。本文采用第2种方法。

PDD模型是供水专业中广泛研究的一类问题，节点i的需水量Qi由该点总水头Hi决定（Qi（Hi）），其中Hi=Pi+zi，其一般的表达式为：

为满足节点水量所需的总水头，m；Hiavl为节点的实际总水头，m；Himin为节点无水与部分供水的界限总水头，m。

由式（5）看出，各个PDD模型的差异在于DSR（Hiavl）表达式的差异，图4给出了几个常用的PDD模型的函数曲线，这些模型的具体函数表达式见文献[9，22]。一般认为Qi（Hi）曲线的连续性会影响迭代计算的收敛性能[15]。

3基于节点流量连续性方程的管网低压水力分析

将管网的节点流量连续性方程组表示为节点水压的函数：

FH=A·qH+QH=0（6）

式中：F（H）=[F1（H）， F2（H）， …， FN（H）]T。A为管网结构的关联矩阵，维数为N×M，其元素取值为：当管段j与节点i相连且有水流从节点i流入管段j时aij=1，当水流从管段流入节点时aij=-1，当管段j与节点i不相连时aij=0；其中N为管网的节点数，M为管网的管段数。向量q（H）为管段的流量，维数为M×1；向量Q（H）为节点需水量，维数为N×1，其各元素取值由式（5）确定；当采用固定需水量模型时，Q为与H无关的常数。

利用NewtonRaphson迭代求解式（6）所示的非线性方程组时，在第k迭代步则有：

式中，J（Hk）为雅可比矩阵，其表达式为：

式中，C是维数为M×M的对角阵，其元素取值为cii=1（nsi|qi|n-1）。D是维数为N×N的对角阵，其对角元素取值为：

对于节点PDD模型：

对于模拟渗漏点的扩散器模型（图1（b））：

对于模拟断开点的附加扩散器模型（图2（c）），断开管段的上游节点A的流出量由扩散器流量QL1及节点流出量QA两部分组成，则与节点A对应的dii的取值为：

将压力决定的流量关系加入到雅可比矩阵J中，增加了式（6）的非线性，从而导致其求解收敛性能下降。应用式（7）求解的牛顿迭代步长直接更新自变量（Hk+1=Hk+δHk），若初始与实际方程根没有足够接近，迭代会使结果偏离到无规则的远处，造成不收敛。对于含有分段函数的管网方程组（式（6）），需加入确保迭代收敛的全局收敛规则。一个确定合理迭代步长的策略是这个步长使|F|2=FTF下降，假定f=12FT·F，则上述问题转化为f极小化问题，注意到牛顿步长δH对f是下降方向：

在第二次以后的第i次回溯过程中，可用εi、εi-1、εi-2分别替换式（18）和（19）中ε3、ε2、ε1。

式（12）～（19）所示的求解过程适用于各类非线性方程组的求解，其具体的计算程序可见文献[23]。

4算例分析

图6所示的管网为24个节点34条管段构成的小型管网，节点J24为源点，其总水头为50 m，管线的HazenWilliams系数均为100，管网的详细数据见文献[17]。模拟地震作用产生的管线破坏时，本文假设整个管网共发生10处破坏（图7），其中管线P8和P21遭受严重破坏而断开，管线P2、P5、P7、P11、P22、P25、P29和P31发生中等破坏而渗漏；所有破坏点均发生在原管线的中点处（图1（a）和图2（a）中λ=0.5），破坏点高程（z）为原管线两端点的均值。对于断开管线，则在管线的断开点处增加2个空蓄水池；对于渗漏管线，渗漏点的开口漏水面积AL与管线截面积之比统一取为0.05，孔口出流公式（1）的系数为μ=0.6，C=4.427。图7所示破坏管网拓扑结构采用空蓄水池模拟断开点出流。

4.1附加扩散器模型正确性验证

对破坏管网，管网初始节点（J1～J23）采用固定供水量，渗漏点采用扩散器模型；分别采用附加扩散器（本文）、空蓄水池模型（GIRAFFE）、隔离管线法（故障分析）模拟断开点，其结果如图8。对附加扩散器模型，需将图7中的节点J28、J30、J35、J36和管线P8、P21、P38、P40删除，并在断开管段的端点J4、J6、J7和J15处设置扩散器系数，采用作者编写的低压分析程序计算，算法迭代参数为α=0.1，εmin=0.1；对空蓄水池模型和隔离管线法，采用EPANET 2.0 计算。图8中初始节点的总需水量为282.08 L/s，其中漏损水量分别为164.32（扩散器）、164.28（蓄水池）和143.41（隔离）L/s；由图8可知，采用本文提出的附加扩散器模型的计算结果与空蓄水池的结果相同，而采用隔离断开管段法得到节点压力水头偏大，其分析结果过高地估计了管网的震后服务能力。

图8固定需水量模型节点压力分布

由于固定需水量模型的分析结果出现了节点负压（J12和J13），采用PDD模型中的Wagner模型重新进行破坏管网水力分析，参数设置为Himin=zi，Hireq=zi+15 m；其结果如图9、10和11所示，其中漏水量分别为191.12（扩散器）、19112（蓄水池）和156.89（隔离）L/s。图9中，破坏前管网初始节点的供水压力多在15 m以上，破坏后节点水压下降较多，且多数处于15 m以下；从图10可知隔离法与附加扩散器模型的压力满足率差异大于0.1的节点有J4、J6、J7、J8、J14、J15、J16、J20和J22，这些节点是与断开管段相邻和断开管段原来供水的下游节点，因此断开管段的建模方法对其相邻节点和下游节点的压力影响较大。

图9Wagner模型节点压力分布

4.2低压分析算法计算效率比较

在破坏管网水力计算中，对初始节点采用固定供水量时会出现节点负压（图8），分别采用GIRAFFE负压处理和不同PDD模型（Wagner、Tucciarelli、Fujiwara、Tanyimboh和周建华）共6种工况进行计算；所有节点压力水头的迭代初始值为10 m，节点流量闭合差（式（6））均值的收敛允许误差为10-3 L/s；初始节点的压力满足率和流量满足率结果分别见图10和图11；各个工况的迭代收敛过程见图12（周建华模型的收敛步并未完全标示），图例中工况名后的括号内数字分别为其收敛步数和总线性搜索次数。

6个工况中的初始节点总配水量分别为：25933、236.04、225.34、225.09、237.1和236.35 L/s；漏水量分别为：177.22、191.16、197.34、197.46、191.49和191.34 L/s。由管网总供水数据得知，与PDD模型相比，GIRAFFE负压处理模型计算的节点配水量偏大，漏水量偏小，也即过高估计了管网的震后服务能力；虽然图10中所示的计算结果表明GIRAFFE模型的节点满足率低于PDD模型，但由于其采用了固定节点供水量假定，图11中得到的初始节点流量满足率仍为1.0（节点12、13除外）。5种PDD模型的总配水量和漏水量相差较小，但对同一节点，不同PDD模型的压力满足率和流量满足率相差较大，如：节点4的5个PDD模型压力满足率计算极差为其均值的31.98%；节点20的流量满足率计算极差为其均值的39.48%。因此，当进行管网整体供水量分析时，PDD模型的选取对结果影响不大；当针对某个节点的压力和配水量进行分析分析时，选取计算用PDD模型时要考虑不同模型计算结果的差异。

图12本文算法不同分析模型的迭代收敛过程

对图7所示的破坏管网，GIRAFFE负压处理模型的需进行两次水力求解，总迭代步数为24。在本文低压分析方法结果中，除周建华模型外，其余PDD模型所需的迭代步均小于GIRAFFE模型。采用Siew与Tanyimboh[17]的GGA低压分析方法的迭代收敛如图13。

图13GGA算法不同PDD模型的迭代收敛过程

对比图12和图13可知，与基于节点连续性方程式（6）的低压分析方法相比，GGA方法的前期下降较快，但在真实解附近的下降能力退化。在迭代初值和允许收敛误差相同的条件下，本文方法的收敛步数和线性搜索次数均少于GGA方法。因此，具有良好的全局收敛性。由于周建华模型并未有大量应用的实例，在选用其进行实际管网的分析时应注意水力计算收敛问题。

5结论

地震产生管线功能破坏状态包括渗漏和断开两类，供水管网处于低压带漏损供水状态。为简化断开管段建模，提出一种在断开管段上游端点附加扩散器的模型。采用压力决定节点流量（PDD）模型进行管网低压水力分析时，针对PDD函数和扩散器函数曲线不连续导致的NewtonRaphson法收敛能力下降问题，将线性搜索与回溯方法应用到管网节点流量非线性方程组的迭代求解中，确保了管网低压分析水力方程组的求解收敛。示例计算结果及模型比较表明：

1）附加扩散器模型与用空蓄水池模拟断开管段方法的结果相同，隔离断开管段方法的模拟结果则偏于不安全，对断开管段相邻节点及其下游节点的压力影响较大。

2）对于同一地震破坏供水管网，与本文低压分析方法相比，GIRAFFE水力分析方法计算得到的节点配水量偏大，漏水量偏小，也即过高估计了震后管网的服务能力。

3）当进行管网整体供水量分析时，PDD模型的选取对结果影响不大；当针对某个节点的压力和配水量进行分析分析时，选取计算用PDD模型时要考虑不同模型计算结果的差异。

4）当迭代初值、收敛规则相同时，本文基于节点连续性方程的低压分析方法的收敛步数和线性搜索次数均少于GGA方法。因此，本文方法具有建模简单，计算量小，全局收敛速度快的特点。

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（编辑王秀玲）