数学理论：在意想不到的地方与实际相遇

Peter Rowlett

常听人说数学浮于实际——本来嘛，理论不同于实践，需经由依托才能应用于生活。数学研究往往先于时代，社会还没发展出合适的落脚地，很多数学理论生来就成了“遗腹子”，少人疼爱。好在她天然的严谨和逻辑，许多数学定理历经千年依然如是。然后，就在我们最最意想不到的地方与后面赶上来的生产力不期而遇，交汇处生出灿烂的数学之花。

这里我们编译了三个理论与实际相遇的故事，把意想不到的数学应用一一道来。

四元数：150年后在计算机时代盛开

1843年10月16日，爱尔兰数学家汉密尔顿爵士在散步时，突然想到了i2=j2=k2=ijk=-1的方程解，并且创造了形如a+bi+cj+dk的四元数（a为标量，[bi+cj+dk]为矢量）。为了捕捉这一思想火花，汉密尔顿爵士顾不得保护文物，将方程刻在了正好经过的布鲁穆桥上。

这条方程放弃了交换律，是当时一个极端的想法（那时还未发展出矢量和矩阵）。四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间。汉密尔顿爵士本来正在研究如何把复数应用于三维空间，但桥上的灵光一现，直接把研究扩展到了四维上去。

四元数有着漂亮的数学形式，还适用于地理学、力学和光学的研究。之后的时间里，汉密尔顿爵士把大部分精力都用于推广四元数的概念。他死后，接力棒传到了爱丁堡大学自然哲学教授皮特·格恩里·泰特手中。

著名物理学家威廉·汤姆逊（也称“开尔文男爵”，热力学温标单位开尔文便以他的名字命名）曾说：我和泰特为四元数争了38年。两人合著《自然哲学论》时，曾决定在必要时引入四元数的概念，但从最终手稿来看，“必要的时候”一直不曾出现。

19世纪末，向量微积分的出现更是抢走了四元数的光芒。在20世纪中叶的科学和工程界中，矢量几乎已完全取代四元数的位置。麦克斯韦曾在他的《电磁场动力理论》直接以20条有20个变量的微分方程组来解释电力、磁力和电磁场之间的关系。

某些早期的麦克斯韦方程组使用了四元数来表述，但与后来黑维塞使用四条以矢量为基础的麦克斯韦方程组表述相比较，使用四元数的表述并没有流行起来。人们认为四元数空有漂亮的数学结构，没有什么实际用途，不过是数学史上又一个无足轻重的脚注罢了。

到了计算机时代，四元数终于找到了自己的位置。在三维几何旋转的计算中比矩阵更有优势，在机器人技术、计算机视觉和图像编程领域都是极为重要的工具。

150年之后，汉密尔顿爵士他们的研究终于得到了世人的认可。自己种下的理论滋养了全球数以千亿计的计算机产业，爵爷若地下有知，也应该感到欣慰了。

最密堆积：三个世纪后在信道中相遇

假如在你面前放着一堆橙子，怎么摆放才能最节约空间？别以为这只是困扰水果店老板的日常烦恼之一。人们可以凭经验或直觉断定，把上一层橙子交错着放到下一层橙子彼此相邻的凹处，显然要比直接一个叠一个的摆放更合理。但谁能用数学证明不存在比这更合理的方法？

1611年，开普勒提出，水果商堆橙子的办法对空间的利用率最高，可他自己却没法给出证明。在400多年的时间里，“开普勒猜想”难倒了众多数学家。直到1940年，匈牙利数学家拉兹洛·费耶·托斯才解决了开普勒猜想的简化版——圆环堆积问题。

1998年，一则数学新闻突然成了各大媒体报道的焦点：美国匹兹堡大学的托马斯·海尔斯证明了“开普勒猜想”：在箱子里堆放大小一样的球，用“面心立方体”的堆积方式（即上层圆球安放在下一层圆球中间的各个凹处）使空间利用率最高。也就是说，水果商在箱子里装橙子的办法一直都是最有效的。

海尔斯解答了这个提出了400余年的难题，但水果商并不买账。一位水果摊小贩在接受电视台采访时说：“这简直是浪费时间又浪费我们纳税人的钱！”

不过，开普勒和海尔斯的智慧结晶当然不仅仅是用来装橙子这么简单——有关最密堆积的研究成果是现代通讯技术的重要工具，是信道编码和纠错编码研究的核心内容。

同样也是在17世纪，牛顿和大卫·格里高里因“牛顿数问题”争来争去。牛顿数，“Kissing Number”，是与一个n维球外切的等维球的个数。很容易看出，二维的牛顿数是6。牛顿确信三维的牛顿数是12，直到1953年，科特·舒特和范·德·维尔登才给出了一个证明。

2003年，奥莱格·穆辛证明了四维的牛顿数是24。至于五维的牛顿数，目前只知道它在40到44之间。不过，我们知道八维的牛顿数是240，二十四维的牛顿数是196560，这两个数都是美国明尼苏达大学的安德鲁·奥德里兹克在1979年证明的。八维和二十四维的牛顿数证明起来其实比三维的牛顿数简单，它们还跟超密集的球体填充问题有关：八维E8点阵和二十四维Leech点阵。

这些发现令人惊奇，不过让普通人一头雾水的概念有什么实际意义？接下来听我说。

20世纪60年代，一位叫戈登·朗的工程师正在设计调制解调器系统。他需要从一个繁忙的频道（例如一个电话线）发出一个信号，信号由一系列的音调组成。但是，由于一个频道传递的信号过多，经常出现信号无法被完整接收的情况。朗将组成信号的声音用一串数字表示，信号即可被当作一个个包含信息的“小球”，为了使发送的信息量达到最大化，这些“小球”必须被尽可能紧密地排列起来。

20世纪70年代晚期，朗发明了采用E8堆积法传递八维信号的调制解调器。由于这项技术可以通过电话线进行信号传播，不必重新设计信号电缆，因此大大加快了互联网的发展。

概率论：赌桌上的硬道理到保险业的发展

文艺复兴时期，意大利出现了一位大学者卡尔达诺，他嗜赌，但赌术并不高明，在赌桌上输掉了大把家产。不过，他由此写下《论赌博游戏》一书，被认为是第一部概率论专著，开创了现代概率论研究的先河，也为今天的精算学做了铺垫。

一个世纪之后，法国赌徒梅内遇到了难题。他常玩的两个游戏，一是连续掷4次色子，看能否扔出一个6；二是掷2个色子，连续24次，看能否扔出2个6。梅内以为两者赢钱的概率相等，不过实际情况却与他想的不一样。前者他赢多输少，后者却是输多赢少。梅内向朋友数学家帕斯卡求助，帕斯卡随后和费马在信件往来中探讨了这个问题，为概率论的发展打下了基础。1657年，荷兰人惠更斯首次公开发表了概率论著作《论赌博中的计算》。

17世纪晚期，雅各布·伯努利发现，随机掷一次色子，每个数字出现的概率都是1/6，但连续掷6次色子并不能确保每个数字都出现。他提出了伯努利实验，许多实际问题都可归结为这种模型。更重要的是，伯努利还提出了大数定律，指在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率越趋近于一个稳定值。这个定律甚至促进了保险业的发展。过去，保险公司只敢卖出有限的保单，因为卖出的保单越多，赔付的风险看上去就越高。直到18世纪初，保险公司才开始像现在一样大肆推销保险。这都多亏伯努利的大数定理证明：保单卖得越多，赔付的概率就越趋于稳定，风险是可控的。

预测一项科学研究的影响极为困难。不过，最近一项报告指出，即使是理论性最强的数学研究，也可能在几十年后产生意想不到的作用。数学家尽可钻研理论，然后等其他领域的天才把数学应用于实际。