基于有限元法和ABAQUS仿真的蛛网结构分析

傅瞳 曹蕾娜

摘 要 常见的蛛网结构即由一个中心伸出的若干放射状丝线和围绕这个中心的螺旋状丝线构成的网状结构。然而，究竟是哪一种丝线结构能使得蛛丝达到它的最佳利用状态呢？文章探讨了基于有限元法和ABAQUS仿真的蛛网结构。

关键词 蛛网结构 有限元 ABAQUS仿真

中图分类号：TG95 文献标识码：A

1 概述

世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。相关研究论文指出，蛛丝本身的性质及蛛网的结构使得整张网经久耐用，蛛丝比头发丝还细，但强度却超过同等粗细的钢铁，它的特性早就引起科研人员的关注。与蛛丝这种特性相结合的是其常见的蛛网结构，即由一个中心伸出的若干放射状丝线和围绕这个中心的螺旋状丝线构成的网状结构，保证了蛛网经久耐用。有研究显示，在均匀受力的情况下，整张蛛网能抵抗飓风强度的气流。那么我们自然会对这种结构好奇，我们自然会提出疑问：究竟蜘蛛网织成怎样的结构才是最合适的？

2 问题的分析

通过查阅资料和分析现实生活中蜘蛛网的形状和结构，结合结构力学的相关知识，蜘蛛要达到捕食目的，并保持网的完整性，不被破坏，蜘蛛网的结构和飞虫撞击的角度起到一定的作用，由于飞虫撞击的角度随机性较大，又因为我们在此时对各种网进行比较，得出何种蜘蛛网最为合适，所以在此飞虫的撞击角度不予考虑。

我们认为昆虫和蛛网的关系，在无自然因素影响下是可以模糊化模型为密度稀疏的弹性膜面与在其上施加适当压力。如前假设，蜘蛛网是对称结构，因为这样的平面结构在受到力的作用时会比不对称的稳定。在进行仿真时，我们考虑到了蜘蛛的吐丝量也是关系蛛网结构稳定的一个因素，所以，我们设定模型的面积一定。

接着，我们根据所查资料和相关数学知识，确定了候选仿真模型：三角形蜘蛛网、正多边形蜘蛛网（以正六边形为例）、螺线型蜘蛛网。对这些结构进行分析，观察其对冲击载荷的承载能力，并与其他结构进行比较，得出最合适的蜘蛛网结构。

3 模型的建立

3.1 方法选取

3.1.1 有限单元法

有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的结点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的结点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。

有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日（Lagrange）多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特（Hermite）多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

3.1.2 有限单元法求解流程

有限元运用在实际问题求解过程中，主要有七个主要步骤，分别是：①对结构进行离散；②形成单元的刚度矩阵和等效结点载荷列阵；③集成结构的刚度矩阵和等效结点载荷列阵；④引入强制边界条件；⑤求解有限元求解方程，得到结点位移；⑥计算单元应变和应力；⑦进行必要的后处理。

4 问题的求解

4.1 蜘蛛网模型

我们认为昆虫和蛛网的关系，在无自然因素影响下是可以模糊化模型为密度稀疏的弹性膜面与在其上施加适当压力。如前假设，蜘蛛网是对称结构，所以，我们这里并没有整网分析，而是取其同一方位的三分之一网进行了受力仿真。

我们使用ABAQUS软件平台，建立了如下三种蛛网模型并进行了求解：三角形蜘蛛网、正多边形蜘蛛网（以正六边形为例）、螺线型蜘蛛网。

4.2 计算结果

4.2.1三角形蜘蛛网模型

综合数据可知，三角形模型的蛛网边沿固定点的值为101.674、84.9822、0.25、0.30、可见其受力是很均衡的，内部的大压力没有迫使外部牵拉结构的带来负担，但其位移的不沿轴向分布却说明了其结构的不合理性。

4.2.2正多边形蜘蛛网（以六边形为例）

综上所述，我们可以发现边沿其固定点的应力值为：264.082、244.286、8.8847、6.5214可见其受力是很均衡的，内部的大压力没有迫使外部牵拉结构的带来负担，而且其位移的基本是沿轴向分布的，说明其结构是很合理的。

4.2.3螺线型蜘蛛网模型

综上所述，我们可以发现边沿其固定点的应力值为：208.399、138.94、15.9089、20.6322可见其受力是很均衡的，内部的大压力没有迫使外部牵拉结构的带来负担，但从其位移图中我们可以发现沿轴向分布的位移是有偏移轴向的趋势的，而且有的已经明显的错位，所以，螺线型的模型应该是介于三角形模型与正多边型模型之间的一类模型。

4.3 结果分析（表1）

正多边形下的蜘蛛网，对外界压力的抵消即沿轴向的位移最小，外压消弱能力最强，结构最稳定。

5 模型的优缺点分析

5.1 模型的优点分析

（1）有限单元法的基础理论比较成熟，已经成为当今成效最为显著的数值分析方法。（2）有限单元法适用性强，试用于任何支撑条件和载荷的模型。（3）本文建立的蛛网模型合理，计算精确度较高。（4）模型采用了数值计算与软件相结合的方法，使问题的解决更加严密。（5）基于膜与压力的力学控制方程适用范围较广。（6）离散的控制方程形式规范，便于编制通用的计算机程序。（7）模型建立和求解符合实际，为一些仿生学建筑提供了理论依据。

5.2 模型的缺点分析

（1）由于时间的原因不能对模型进行更深一步的计算。（2）模型计算过程中存在一些误差，改进相对困难。

参考文献

[1] 刘少杰.客机水面迫降时的姿态.内蒙古：数学建模挑战赛，2011.

[2] 槽德欣.计算方法.中国矿业大学出版社，2004.

[3] 张兴永.数学建模精彩集训材料.中国矿业大学出版社，2008.