浅谈数学研究性学习的几个案例

姚源

摘要：科学研究法，主动获取知识，建立生动的情景模式，重要的着眼点是改变学生的学习方式；一种新的学习方式的掌握和运用，需要依托相应的课程载体；开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力。

关键词：数学研究；教育核心；知识理论

中图分类号：G642.0 文献标志码：A ？摇文章编号：1674-9324（2013）50-0155-03

自20世纪中叶以来，全球随着计算机技术的迅猛发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，数学技术已经成为当代高新技术的不可或缺的重要组成部分。

但是由于数学这门学科其本身具有特有的抽象、枯燥性，因此很多学生对数学的学习在心理上很自然的产生出恐惧性，厌学等态度，但迫于考试约束和压迫性，学生们又不得不硬着头皮去学习，没有从自己心里产生一种主动的求知欲，从而在学习过程中处处被动，布满荆棘。使得数学教育目标和学习效果都达不到预期目的。所以大力宣传与普及一种另类的数学学习，使同学们对数学有新的认识是势在必行的，也是刻不容缓的。

而研究性学习就是其中的一类。这类学习是学生们在老师的指导下，从身边的自然、所处的社会和自己的生活中选择和确定专题进行研究，以类似科学研究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题，并在研究过程中通过多种渠道主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。而学生所学知识的获取、学习能力的提高、好的学习行为习惯的养成，归根到底是学生正确学习的过程和结果。所以，我们的教育需要关注的重要问题是要让我们越来越多的学生形成正确的积极的学习方式方法。而在现有教育环境下、教学条件下，许多老师对学生的知识传输方式以“填鸭式”、“灌输式”为主，而学生的学习又偏重于机械记忆、浅层理解和简单应用，仅仅立足于被动地接受教师的知识灌输。这种学习方式十分不利于学生创新精神和实践能力的培养，而且掌握得也不很扎实，即使记忆下来，也是暂时记忆。针对这一状况，当前教学改革的一个重点是通过教学目标、内容和途径方法来调整、帮助学生改变原有的单纯接受式的学习方式，改变被动的学习态度，在开展有效的主动接受学习的同时，形成一种对知识进行主动探求，并重视实际问题解决的主动积极的学习方式。

一、在数学课堂教学中渗透研究性学习

求学是人们发自内心的对知识的渴望和源泉，学生对知识的渴望越高，发愤图强的学习精神越强烈。老师可以对课例进行实例操作，让学生跟着练习并自由发挥，让课堂气氛活跃，充满朝气勃勃，这样学生感到学习起来很轻松，同时脑海思维又不断扩展到了新的画面。学生把自己的思想也融合到了课堂上。例如在讲解斜三角形应用题时，我建立的情景模式是：“现在通信技术的发展可以说是日新月异，手机的使用已经达到了普及化，无论是公园里晨练的老人还是自习室上课的学生，几乎人手一部手机。可以说，通信技术的发展给人类提供了便捷，但是有时也会造成麻烦，因为手机通讯是要通过网络信号作媒介才能得以体现。如果某一地区没有覆盖网络信号，那么你的通信工具只能当玩具。所以，信号的覆盖显得格外重要。在某一山区，通讯公司为了将该地覆盖信号，想在山（即三角形BED）高ED上架一座信号塔。信号塔太低，盲区太多；信号塔太高，则浪费材料，且有危险，所以塔的高度既不能太高，也不能太低，要恰到好处才行。已知条件是山坡BD与水平方向成？坠，从B，C两点测得塔的张角分别为？茁，？酌，若BC=a，求理论塔高为多少？”这一问题是这节课中的解斜三角形的问题，只要掌握解题方法，问题很容易被攻克。在三角形ABD中，利用已知的？茁角和？酌角，可以求出该三角形三个内角，又已知BC长为a，可以利用正弦定理求出边AC的长，再在三角形ACD中求出三个内角，再利用一次正弦定理就可求出塔高AD来。这样尽管这节课的内容是一些繁杂枯燥的角度和正弦定理的计算，但是将同学们所关心的手机通信知识运用在课堂中，学生在课堂上很是兴趣盎然。因为刚才所说的情景模式部分，都是发生在学生们身边并且感兴趣的事物，青少年学生求知欲望强，敢说、敢想，喜欢发表自己的意见，组织讨论能很好地发挥这种心理优势。有一次在讲空间立体几何中面与面的位置关系的时候，我出了这样一道选择题：已知其中一个平面和另外两个平面都垂直，则这另外两个平面的位置关系是：A.平行；B.垂直；C，平行或垂直然后让同学们思考和讨论，教室里的气氛一下活跃了，争论的焦点集中在另外两个平面是否垂直，两种意见争持不下，这时坐在后面的一个男同学用手指了一下墙角，站起来大声告诉同学们：“这个现成的模型说明了另外两个平面的确存在垂直的关系，因为地面可以看成是第一个平面，而对着大家的黑板面和靠着窗户的墙面分别都与地面垂直，这符合题目条件，然后黑板面和靠窗户的墙面位置关系显见，它们也是垂直的，所以答案应该是C。说完后我给了肯定的回复，选C的同学们兴奋极了。最后教师充分肯定了这位同学的创造精神并理论上证明了这一结论，使另一部分同学心服口服。

又例如，在学习指数和指数函数时，遇到了一道“将纸对折”的问题，我让同学们自己找材料，看谁对折的次数多。很多同学兴致勃勃地拿出早就准备好的纸，有的是作业本纸，有的是A4打印纸，有的是报纸，大部分同学都对折了6次，少数同学对折了7次就再也折不过去了。为什么会出现这种情况？我用简单的指数运算来解释就可以让大家理解，解释完后同学们豁然开朗，紧接着我又从其他角度引入了该影响问题的因素，纸张的对折次数与其面积、厚薄、硬度有关，细长、柔软、薄些的纸，折的次数会比较多。从力学方面讲，每张纸对折一次，厚度就翻一倍。假如一张纸的厚度为0.01毫米，那么折9次后，纸的厚度约为5毫米。随着厚度的增加，折了七八次后，折叠起来的纸张就会很厚了，继续对折就不可能了。而纸折的次数与个人力量的大小并无太大联系，但同样厚度的纸，面积越小对折难度也就越大。因此刚才那位拿报纸的同学比其他同学折的次数多，原因就在这里。但是9次的结果并不是不能打破。我们在网上搜了一下，有人曾拿50米长的长条新闻纸进行对折，最多折了10次，而用1000米长的长条新闻纸，最多折了11次。据说，创折纸次数世界纪录的是个美国人——这个美国人用4公里长的厕纸进行对折，结果折了13次。如果同学们有兴趣，也可以动手试试，看能否打破世界纪录。听到这里，大家都拍手叫好。这节课既丰富了知识，又夯实了指数的运算概念和性质。

通过实事证明：在遵循教学规律的基础上，采用生动活泼的富有启发、探索、创新的教学方法，充分激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，是提高课堂教学效果和培养学生研究能力的重要途径。

二、数学开放题与数学研究性学习

近些年来，开放题是数学教学中的一种热点题型，它是相对于传统的封闭题而言的。开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。该题目有的类型为一题多解；有的同一道题答案却有几种，只要求思路清晰明了，运用手法准确；还有的是数形结合，可谓灵活多样。为了使数学适应时代的需要，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。关于开放题目前尚无确切的定论，通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。近两年高考题中也出现了开放题的“影子”，如对■-lx≤0，是选择■≥0，还是选择■≥1呢？选择前者则得kx+1≥0，？圯x≥-■，之后的解题道路荆棘丛生，而选择后者则有kx+1≥1，？圯x≥0以后的道路则是豁然开朗。

解答数学开放性问题的几种常用策略：（1）分析所给问题、联想实际应用、类比解决策略。对于由给定的条件寻求相应的结论或是由给定的结论反溯应具备的条件的开放性问题，可通过观察、分析、联想、类比等策略，执因索果探求结论或执果索因反索条件。（2）归纳、猜想、证明策略：对于比较大小或探求公式的开放性问题，可先通过特例引路，猜想结论，然后进行证明：或者由特殊到一般，由低维到高维探求结论。（3）假设存在，验证肯定或反证否定策略：对于判断符合条件的某种数学“对象”是否存在的开放性问题，可先假设该数学“对象”存在，然后据此进行推理，若推出合理结果，则假设成立。

三、社会实践与数学研究性学习

研究性学习强调理论与社会、科学和生活实际的联系，特别关注环境问题、现代科技对当代生活的影响以及社会发展密切相关的重大问题。要引导学生关注现实生活，亲身参与社会实践性活动。同时研究性学习的设计与实施应为学生参与社会实践活动提供条件和可能。

学生对这个问题的进一步研究，无疑会激发其学习数学的主动性，养成善于发现问题、独立思考的习惯。

1.一块长方形苗圃，长460米，宽300米，在它的四周每隔5米种一棵苹果树，那么一共要种多少棵？

2.赤壁大道的两边每边原有81线杆，每两根间的距离是30米，现改成另一种型号，每两根相距50米，两边共需要多少根这样的电线杆？

3.有一个花坛，是由四个相同的小三角形组成的一个大三角形，每个小三角形边上种了10棵花。大三角形的一周种了多少棵花？一共种了多少棵？

4.用8角的邮票，排列在一张正方形纸的周边，每边张数相等，这些邮票共值19元2角。请你算出每边的张数。

5.有一个报时钟，每敲响一下，持续声音可持续3秒。如果敲响6下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需43秒。现在敲响12下，从敲响第一下到结束，一共要多长时间？

6.甲、乙两个绿化队在3千米的公路两旁栽树，每隔20米栽一棵白杨树，在相邻的香樟树中间栽一棵槐树。甲队比乙队多栽12棵，甲、乙两队各栽了多少棵？

7.在一座桥上，两侧有20块广告牌，每块长3米，宽2米，两块广告牌之间相距8米，靠近桥两端的广告牌距离桥两端都是50米，求这座桥长多少米？

8.某市一次大型的武警警力阅兵，一共有20个方阵和50辆警车从主席台前通过。每辆警车长4米，警车之间相距5米。每个方阵长10米，每两个方阵相隔3米，方阵和警车之间相隔8米。这个队伍长多少米？

在数学研究性学习中，社会实践是重要的获取信息和研究素材的渠道，学生通过对事物的观察、了解并亲身参与取得了第一手资料，可以用所学的数学知识予以解决。以下的问题均可作为简单有趣的数学研究性问题来进行讨论：对于上述问题，有些你也许想过，有些你也许从未想过。这些问题都与数学有关！数学与生活是如此的息息相关，让我们发现并研究这些数学问题吧！相信你会其乐无穷。