一道课本习题的几种思考视角

吴水荣

有时一道题目可用多种方法解答，平时做题不应只着眼于做出这道题，而要尝试用多种解法解答.尝试从多个角度解题，可以拓宽思路，在遇到其他类型的题目时会有意外收获.下面我们就以课本的一道题对一题多解相关问题作思考.

人教版A版选修4—5《不等式选讲》第41页第5题：已知2x+3y-4z=10，求x+y+z的最小值.

命题意图：主要考查柯西不等式的知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，难度适中.对于这道题，若能调动所学知识，从不同的视角进行思考，就能探索出多种解法.

一、解法探究

1.不等式的视角

分析：（三维柯西不等式）设是实数，则，当且仅当b=b=b=0或存在一个数，使得时，等号成立.可利用此不等式及其取等号的条件.

解法1：根据柯西不等式，当且仅当，即时取最小值.

2.向量的视角

分析：若能构造空间向量，当且仅当与同向时，等号成立.可利用此向量不等式及其取等号的条件.

3.方程的视角

4.几何的视角

点评：我们对方法的认识和使用往往是分散的，用一个方法能解决所面临的问题就满足了.通过前面的探究和思考，我们认为：这些方法之间似乎存在关联.

首先，三维柯西不等式的证明与方程的配方有关.

最后，三维柯西不等式也可用空间几何方法证明.

我们看到了四种方法的联系，一脉同根，组成一个方法链，充分顯示了知识间的有机联系和横向贯通.有了这样的认识，各种方法之间不再孤立，使用时可以相互启发，相互借鉴.

二、试题链接

三、2013年高考题的延伸

2013年湖南高考卷理科第10题：

该题从柯西不等式、向量的方法、方程的角度解决较容易，从几何的视角：点到面的距离的角度考虑较难，为什么？如何将a+4b+9c表示空间点到原点的距离的平方呢？

四、柯西不等式的延伸

三角视角：利用三角形的两边之和大于第三边.

总之，找出解法是解题的关键，找出一种解法就是沟通了条件与结论之间的一个联系，找出多种解法就是沟通了多个联系.因此，“一题多解”的过程就是深入理解数学的过程，就是沟通已有知识经验之间更深刻联系的过程.通过以上研究：不等式、向量不等式、配方、判别式……组成了一个方法链；代数、几何、向量是脉脉相通的.有意识地积累“知识链、方法链”，“举一反三”“触类旁通”就能落到实处.