有理有据 谨慎求解

提问 对于问题“对任意实数x，y∈R+，不等式+≤a恒成立，求实数a的最小值”，我的解法是：令y=x，则有2≤a，两边同除以，可得a≥，即实数a的最小值为.答案确实是，但老师说我的解法有误，我错在哪里呢？

回答 很巧，这位同学问的这道题我班上学生也做过.全班56名同学中，有47人算出了正确答案，其中有34位同学采用了提问中的解法.为什么同学们会这样解呢？因为平时的解题容易让我们产生一个印象：不等式往往是在其中的元素相等时取到最值的.真的可以这样解吗？

让我们把问题改编一下：对任意实数x，y∈R+，不等式+≤a恒成立，求实数a的最小值. 按照提问中的解法，令x=y，可得a≥1+，所以不等式+≤1+对任意的x，y∈R+恒成立.如果我们取x=1，y=2，代入上式可得+≤1+，即≤1+，该式显然不成立，所以答案肯定有误.这个反例从侧面说明，提问中的解法只是凑巧得到了正确答案.

按提问中的解法，当x=y时，不等式+≤·确实成立，但当x≠y呢？题目要求的是对“任意实数x，y∈R+”，不等式都要成立，人为地设定x=y，然后在这个前提下求解，从一开始就错了.

对于求参数范围的问题，一般可以通过参数分离法，将不等式分离为只有一侧含参的形式，再利用基本不等式与均值不等式求出不含参数这一侧的表达式的最值；或构造函数，根据函数单调性求解.

解法一： 原不等式等价于a≥ （x，y∈R+）恒成立，故只需求出的最大值.由均值不等式≤可得≤，即≤，当且仅当x=y时等号成立，有最大值，所以实数a的最小值为.

解法二： 原不等式等价于a≥ （x，y∈R+）恒成立，故只需求出的最大值.2==1+≤1+=2，当且仅当x=y时等号成立，有最大值，所以实数a的最小值为.

解法一和解法二都通过参数分离法，将参数a与变量x，y分离开来，将问题转化为求的最大值.对于，解法一直接代入均值不等式化简求解；解法二则用放缩法先对平方，由均值不等式求得2的最大值为2，再开方还原至，得到的最大值.

这两种解法都要求掌握基本不等式和均值不等式的相关公式≤≤≤（a>0，b>0）.对此例来说，解法二的思路有点“迂回”，但有时候我们无法直接利用均值不等式或基本不等式求解，就可以考虑使用放缩法，先平方或先开方，求出最值，再还原解出答案.

用解法二也可以求解改编后的问题：原不等式等价于a≥恒成立，因为2==1+≤1+=1+2=3，所以≤，即实数a的最小值为.