寓数于形 以形显数

徐国刚

我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。”因此，在数学教学中，教师要有意识地沟通数、形之间的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的处理，发挥图形对抽象数学内容的支撑作用，引导学生借助形的直观来理解数的抽象，利用数的抽象来提升形的内在逻辑，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，从而帮助学生理解知识、启迪思维，促进学生的发展。

一、以形辅数，在直观表象中建立模型

教师要借助图形的直观性将抽象的数学内容形象化，并充分发挥直观形象对新知建构的支撑作用，让学生从形象直观的图形出发，亲历将实际问题抽象成数学模型的过程，为理解数学知识奠定基础。课堂教学中，教师应提供空间，创设平台，激活学生的已有生活经验，引导学生在具体的学习情境中自觉启动主体思维，深刻理解数学知识的本质意义。例如，在教学“四舍五入”一课时。

师：请看图（如下），从21到29这九个数中选择最近的路，会去谁（20或30）的家？

生1：21到20的家最近，会去20的家。

师：我们就说21的近似值是20，记作21≈20，读作21约等于20。（师板书并在图上画出表示这些数到20或30的距离的线段）

生2：25到20和30一样近，两个家都可以去。

师：为了不让25为难，我们规定它去30的家，记作25≈30。请大家看黑板上的算式，你有什么发现？

生3：我发现末尾是1、2、3、4的时候就舍去，末尾是5、6、7、8、9的时候就进1。

生4：我知道这就是“四舍五入”。

师：说的好。我们通常利用“四舍五入”的方法求一个数的近似值。再来看看图（如下），我们学校的学生人数接近哪個整百数？

生5：因为837到840比到830近，所以837≈840。

生6：因为837到800比到900近，所以837≈800。

师：还有不同的想法吗？

生7：837的个位上是7，满5了，所以进一，约等于840；它的十位上是3，根据“四舍”，要舍去，所以约等于800。

师：大家看，837≈840、837≈800，这不矛盾吗？

生8：不矛盾，前面是四舍五入到十位，后面是到百位。

……

上述案例中，教师采用数轴的形式，颇有深意地创设了“选择最近的路”的教学情境，自然直观地生成了“四舍五入”的方法原理。通过比较21～29中各数到20和30的距离远近，使“四舍五入”有了一个形象的数学模型，使新概念的构建水到渠成。用学生熟悉的情景反映一个数可以按不同的精确度取不同的近似数这一数学现象，目的是希望学生通过直观比较，将初步认识提升到通过简单的数学推理得到不同精确程度的近似数。显然，这一知识的教学过程，正是教师利用学生的生活经验创设形象直观的意义情境，用故事的形式把“四舍五入”放到数轴上展开学习，利用情境赋予“四舍五入”一个直观的几何解释，有效化解了课堂教学的难点。

所以，我们教师要做的就是通过直观形象的图形唤醒学生相关的认知经验，这种认知经验既可以从学生的生活和知识经验中直接提取，也可以在设计和提供形象的认知情境中提取。在这样的教学情境中，学生具有相应的直观体验和模型识别，就能和新知识的学习建立起意义联系。抽象的数学只有和直观形象的意义链接，才能实现学生对新知的个性化学习。

二、寓数与形，在直观转化中沟通联系

在数学教学中，教师可借助图形的直观性将抽象的数学概念、运算性质和数量关系形象化、简单化，让学生从已有的知识经验出发，通过多种感官充分感知，在形成表象的基础上进行想象、联想，达到最终理解数学本质、解决数学问题、形成数学思想的目的。

例如，在教学“乘法分配律”一课时，为了让学生深入理解乘法分配律，并能熟练地进行应用，我利用数形结合的方法进行一些尝试，取得了较好的效果。课堂中我从面积计算问题引入教学，在探究过程中出示下图，要求学生用不同的方法计算出下面图形的面积。

学生一般会出现两种解法，即S=ab+ac和S=a（b+c）。由于是求同一个图形的面积，所以自然得到ab+ac=a（b+c），然后在验证的过程中，学生用了大量不同的具体数据，证明了公式的确成立。有了这个相连长方形的模型，通过计算长方形的面积，学生能很直观地看到相同的宽其实就是乘法分配律中的公因数。在这样的具体情境中，学生自己不但能感悟理解，还能用自己的语言描述出来。通过计算长方形的面积和观察长与宽之间的规律去理解乘法分配律，这样的设计比抽象地呈现一组组乘法算式让学生比较，更易于学生发现、理解规律。

图形推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算的直观模型。数学活动中有关图形的知识，可以通过数和计算帮助理解。

例如，教学“梯形的面积计算”一课时，在学生通过自己的观察和操作学习梯形的面积计算公式后，我设计了一系列练习帮助学生进一步巩固梯形面积的计算。我先出示图形（如下）让学生观察，然后指着梯形上底的一端，问学生：“如果下底不变，上底缩小，你想象一下，这个梯形会怎么样？继续缩小，当上底缩小到0时，会怎么样？”“下底还是不变，如果把上底拉长到和下底一样长的时候，变成什么图形？”由于有直观的梯形图为基础，学生在想象上底变化的过程中，感受到面积计算的变化，既沟通了与三角形和平行四边形之间的联系，又使学生感悟到梯形和三角形与平行四边形之间面积计算公式之间的关系，为学生形成良好的知识结构作了很好的孕伏铺垫。

三、以形思数，在直观操作中体悟方法

小学生的思维以形象思维为主，对于摸得到、看得见的具体材料更容易认知、理解和记忆。为此，在课堂教学中，教师要善于抓住学生的这一思维特征，巧妙地将抽象的数字转化为具体的图形，深化学生对数学知识的初步认知。同时，教师要让学生多动手操作，使学生养成爱动手的好习惯，并引导学生将数学中的数字转化为看得见的图形，从而易于解决问题。

例如，教学小学六年级的“鸡兔同笼”问题时，我出示题目：“在一个笼子里装有兔子和鸡，其中有8个头，26只脚。请问兔子和鸡各有多少只？”假设法是本课教学的难点，许多学生提出了自己的困惑，归纳总结如下：为什么要用10除以2？5为什么是兔子的只数？针对学生普遍存在的困惑，我采取数形结合的方法，帮助学生理解和掌握其解题思路。在第一次试教中，我采取画示意图（如下）“给鸡添脚”的方式引导学生理解10÷2。可实际教学效果表明，仍有部分学生理解困难。

在反思过程中，我觉得由鸡到兔的变化没有给学生留下深刻印象，因为增加的脚与原来的脚既没有进行颜色区分，也无法看出数的变化，导致学生无法借助数形结合对这一过程进行深入思考。于是，我将“给鸡添脚”改为“拿鸡换兔”，并且在课件上清晰再现了这一置换过程。如下图：

在整个过程中，学生积极、充分地参与到课堂学习之中，俨然成为学习的小主人。学生在动脑、动手、动口的过程中，将抽象的数学知识生动形象地展示出来，加深了对所学知识的认识和感悟。

数和形是数学研究的基本对象。数形结合作为一种重要的解题方法，它把代数式的精确刻画与几何图形的直观形象描述结合起来，有利于启迪思路，探求解题途径。数量关系如果借助图形帮助理解，可使许多抽象问题变得直观形象化，而且使某些涉及图形的问题转化为数量关系的问题，从而获得简单、快捷的解法。

四、数形结合，在逐次抽象中发展思维

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，两者往往紧密联系，相互补充，在一定条件下可以相互转化。在小学数学教学中，恰当地应用数形结合的方法，能清楚地揭示计算的算理，帮助学生形成解题策略，培养学生的空间观念，对学生的现实学习和继续学习都有着很重要的意义。

例如，教学“设计包装”一课时，在学生用12个棱长是1分米的立方体小盒子包装成不同的长方体后，我及时把学生的回答用课件展示并提问：“在这四种摆法（如下图）中，你认为哪种摆法的表面积最小？为什么？”学生一般从各个长方体重叠面的多少，能正确判断出各个长方体表面积的大小。接着，我又提出了这样一个问题：“下面请大家一起想想，长方体的长、宽、高和表面积的大小有怎样的联系？”

由于学生观察到的长方体非常具体，而平时长方体的长、宽、高又是以具体的数值呈现的，所以很难联想到长方体的长、宽、高和表面积大小的联系，导致在教学这个环节中出现了冷场。于是，我为学生在“形”和“数”之间提供“拐杖”与支撑，及时在这些长方体旁边出现相对应的长、宽、高具体数值的线段图。如下：

学生已经知道了这些长方体表面积的大小，又能直观地观察到长方体长、宽、高的具体长短，形成长方体的长、宽、高和表面积大小的联系自然水到渠成。

数形结合思想和其他数学思想一样，渗透在整个数学学习过程之中。学生对数形结合思想的掌握，要经历从模糊到清晰的阶段。因此，在课堂教学中，教师要根据各年级学生的实际水平和个体差异，使他们经历从“萌发意识——形成意向——掌握深化”的过程，在数学思想方法的发展上更深入一步。只有当它成为儿童解决数学问题的自觉意识时，才会上升为数学思想，才会成为方法的理论基础。数形结合思想形成的前提是让学生经历应用的过程，而教师提供的时间与空间是为方法提升作保证。