把握数学本质 渗透分类思想

沈科

数学思想是对数学本质的认识，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，且“使学生获得数学的基本思想”是数学课程标准重要的课程目标。数学思想贯穿于数学学习的全过程，是对数学本质理解的集中体现。

分类是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的一种思想，无论在日常生活还是科学认识活动中，都具有十分广泛的应用。当然，分类思想也贯穿于数学研究的始终。在具体教学中，分类无论在内容和形式上都有着或隐或显的指向，不仅教材中有分类的内容，课堂上也经常看到教师将分类活动有意识地穿插在相关的教学内容之中。“分类”事实上是数学抽象的一个必要基础，是一种十分重要的认识方法。

教育心理学表明，分类是数学学习的重要起点。运用分类的思想，通过正确的分类，可以明晰数学概念，完整地发现与解决数学问题。但如何真正地在教学中落实分类思想，引领学生有效地学习数学知识，是每个数学教师应认真思考和探索的问题。

一、渗透分类思想，激发创新意识

分类是根据教学对象本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归为一类，把具有不同属性的归为另一类。分类是学生自主发现的重要手段，教师如果引导学生对所学知识进行恰当的分类，就可以使他们的思考更具条理性，激发创新意识。

例如，四年级下册“三角形的分类”（按角进行分类）一课内容，苏教版教材作了如下安排。

教材先让学生观察出示的三角形，这一过程是帮助学生建立分类的“序”，然后明确提出“三角形的分类”这一学习任务，再引导学生积极思考：三角形的分类与角的分类有什么不同？能否参照角的分类去进行三角形的分类？接着分组讨论三角形的分类情况，在学生汇报后进行归纳，分别根据角的特征去定义锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。最后，教师还应引导学生对分类方法的合理性作出具体分析和总结概括：是否可能出现交叉重复的情况？是否有遗漏？

教材为学生提供了观察、操作、思考和讨论的空间，由“角的分类”过渡到“三角形的分类”，并且引导学生认识到通过辨析三角形中最大的一个角，可以实现对三角形的正确分类。这一内容使学生在分类的科学性方面受到很好的训练，同时激发了学生的创新意识。

二、渗透分类思想，发展数学素养

数学分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。从数学教学的角度出发，教师还应更多关注分类思想对于量性特征的研究，使学生更好地建立数学认知结构，理解数学知识。

1.关注本质

分类作为重要的数学思想，并非高不可攀。在具体教学过程中，教师不应只停留于肯定各种分类方法，而要对学生提出的各种分类方法做出必要的优化，引导学生学会“数学地去看待世界和分析问题”。例如，苏教版教材一年级上册“统计”一课的教学，教材直接提出问题“大象家来了哪些客人”（如下图）来明确分类的标准，其目的是希望学生能够通过适当的分类更好地去学习本节课的数学内容，真正经历收集、整理数据的过程，从而达成教学目标。这里，要考虑摒弃其他非本质的分类方法。

2.完善结构

对数学对象的分类必须科学、统一，每一次分类的标准只能是一个，不能交叉地使用几个不同的标准，要使分类既不重复也不遗漏。例如，苏教版教材四年级下册“倍数和因数”单元中，对非零自然数不同的分类方法有以下两种：一是按照是否是2的倍数分为奇数和偶数；二是按照約数的个数分为素数、合数和1。又如，可以根据图形的特征和相互间的关系进行分类，像三角形可按角分类，也可以按边来分类。通过分类，使学生体会和理解不同的分类标准会有不同的分类结果。数学知识的分类突出了学习的重点，有助于学生对知识的梳理和建构。

3.严谨思考

数学分类思想常常把问题按照一定的原则和标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案。数学分类思想应根据学生的年龄特点逐渐渗透，循序渐进，反复训练，使学生逐步领悟。经历这样的过程后，学生积累了关于分类的活动经验，发展了自身的数学素养。

上述例子已经很清楚地反映出分类思想有助于学生全面地、合乎逻辑地进行思考。再如，苏教版六年级上册“分数乘法”单元中的思考题：“两根同样长的钢管，第一根用去米，第二根用去。哪一根用去的长一些？”这里需要把钢管的长度分为“大于1米”“等于1米”和“小于1米”三类来帮助解决问题。“化整为零，各个击破”，这样的思考策略正是基于分类思想的指导。

三、渗透分类思想，提高解题能力

数学学习内容包括四个方面，即数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合与实践。这四个方面的内容教学都应当以数学基本思想为统领，在具体内容的理解和掌握过程中体现数学的基本思想。分类思想作为基本的、重要的数学思想，要有机地蕴涵在知识发生、发展和应用过程中。

1.运用分类思想发展推理能力

各版本教材都十分注意根据学生的实际认知水平，在各个学习内容中渗透分类思想，让学生在应用所学知识分析、解决问题的过程中，不断丰富对分类思想的体验。在具体教学中，教师应注意以实际问题为载体，帮助学生通过对解决实际问题过程的回顾与反思，适当提升对分类思想的感悟，进一步感受分类思想的价值，促进思维的发展和数学学习能力的提高。例如，苏教版教材五年级上册“解决问题的策略”单元中的有关问题。如下：

解决这一问题时，引导学生先列举只订阅1本杂志的方法，再依次列举订阅2本和订阅3本杂志的方法，同时注意避免遗漏和重复。这里显然具备了分类思想的基本特点，对于学生合理分析和解决问题有着十分重要的作用。

分类思想对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性，以及提高学生分析问题与解决问题的能力无疑具有较大的帮助。

2.运用分类思想发展运算能力

小学生由于年龄小，思维往往表现出单一性，各种知识交错出现，会一时难以分辨。在计算教学中，教师要有意识地引导学生开展各种分类活动，使学生在知识技能形成和能力发展的过程中逐步感悟分类思想。例如，学习四年级下册“运算律”一课后，苏教版教材安排了如下练习。

8.怎样简便就怎样算。

102×45 648+203 63×15×2

98×32 44×25 43×43×39

27×37+37×23 256×7-56×7

48×101-48 99×62+62

课堂教学中，教师可以引导学生对算式进行分类，对比结合律和分配律，从整体上理解算理，把握算法。这里的分类，不仅能培养学生形成认真、仔细的学习习惯和良好的数学思维习惯，更重要的是学生通过这样的分类过程，加深了对知识之间的联系与比较，让所学的知识得到更好的内化。

3.运用分类思想发展数据分析观念

教师在统计与概率知识的教学中，应渗透分类的思想。现实生活丰富多彩，很多时候需要把收集到的数据进行分类整理和描述，从而有利于分析数据和综合地做出推断。教材在这一方面也作了精心的设计，如二年级下册“统计”单元中有很多需要应用分类思想解决的实际问题。

这一内容的教学，往往通过不同的实际需要引出分类统计的必要性和适用性，让學生明确对于同样的数据可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。这也是发展学生数据分析观念的具体体现。

当然，分类思想存在于数学学习的全过程，在各种课型中都有所体现，对于发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观等都有着重要作用。教师要将分类思想针对不同年级学生的认知发展水平，正确认识处理好数学思想和具体数学内容教学之间的关系，既不要只关注“双基”而忽视隐藏在知识背后的数学思想，也不要过分注重数学思想的渗透而加重学生的负担。

分类思想与其他数学思想一样，蕴涵于数学知识之中，既是高于具体知识和内容的一种理性认识，又是联系数学知识的纽带，更是学习掌握各部分数学内容的灵魂，成为形成数学概念、建立数学知识体系、思考和解决数学问题的主线。作为小学数学教师，我们必须进一步更新观念，充分认识数学思想在数学教学中的价值和育人作用，把渗透数学思想方法真正纳入教与学的目标之中。