穷则思变，变则会通，通则即达

胡建芳

基础不牢，地动山摇。学生在小学阶段如若没有自信心和基本的学习能力，那么到中学乃至以后的学习和工作都会受到致命的影响。为改变此现状，本人在复习阶段践行“穷则思变，变则会通，通则即达”的指导方式，让这部分学生在复习概念、进行计算、解决问题中加强思维训练的力度，引导他们“多想出智慧”、“多思多方法”，尽力在复习阶段提高学生的数学复习能力，从而提升复习的效果。

一、联系生活，培养自我梳理知识的能力

小学阶段主要学习的六种基本量分别是长度、面积、体积、重量、时间与人民币。在以往的复习课中，我总是让学生把各种量的进率背得滚瓜烂熟，不要求学生去深入思考和有序梳理。近些年，我改为让学生进行自我反思、自我梳理及总结。

如在对“常见量”的复习中，我采用了这样的方法进行教学。

先设计了学生自早晨起床后到学校上课的经历，让全班学生用数学叙述的方法記录下来。

生1：我6时半起床。如果天下雨的话，吃完早饭，我从四楼的12平方米的房间下来，拿一把重0.5千克的雨伞，步行500米，坐2元钱的公交车到学校；如果天晴的话，我骑大约重15千克的自行车到学校。

生2：我6：40起床，简单梳洗后，下楼去面包店买了500毫升的牛奶和2只馒头共付5元钱，然后骑车2000米左右到学校，我们的教室在三楼，面积有70平方米，当走进教室时大约是7：40。

……

全班学生记录下在同学表述中所描述的常见量的关键字：时、面、重、长、币、体。这时我按照学生的回答在板书上写下六个字“长、面、体，重、时、币”，并小结：“同学们，我们学习过的量，都可以用这六个字的概括。你认为最容易错的是什么？”学生异口同声地说：“时间单位。”我马上出示“0.5小时=50分”的错例让学生判断正误，并构建常见量知识脉络。

这样结合实例来表现的意境会使学困生记忆深刻，对知识的脉络弄得一清二楚，并且这部分学生感悟到了“穷则思，思则变，变则通”的意义，最终掌握这六种量的进率，其规律为：“长、面、体”的进率为“十、百、千”；“重、时、币”中的“时”为难点，其进率各有不同。

通过这样的教学，使学困生掌握了重点，突破了难点，把小学阶段的“量”的教学提升到了意想不到的境界。

二、“落笔反思”，培养自我检查的良好计算习惯

面对毕业总复习，一线教师最感头痛的事情莫过于有部分学生在运算过程中“一错再错”，而大部分的计算错误原因是粗心，没有一个好的计算习惯。早期心理学家认为错误可分为两种：一种是由于不小心做错而产生的，称为疏忽（Slips）；而另一种是由于学习了错误的观念或程序而产生的，称为系统性错误（Systemtic errors）。其中，疏忽被认为是由于注意力被分散所致的，它的产生被认为是不规则的。而另一方面，系统性错误则被认为是由于某种错误知识或由于缺乏必需知识而引起的。

明白了运算出错的缘由，在一次计算复习课上，我向全班学生宣布：“从今天这节复习课开始到毕业考试为止，你们的计算题都自己批改。我等下发一支红笔给你们，有把握是对的，请你用红笔打‘√，没有把握的，请你用铅笔打‘？。”在实践的过程中，我特别关注学困生，特别注重对其进行自我良好运算习惯的培养，要求他们每做一步，思考一步，反思自己是否做正确，然后再做第二步、第三步。这样“一步一个脚印，一步一回头”，“落笔反思”，“步步为营”的实践过程，大大激活了学困生的数学学习能力。

在一次纠错课上，我出示了以下错例：

（1） 25×4÷25×4=1

（2） 2600÷600=4 …… 2

在出示题目后，我要求学生回答两个问题：你犯过这样的错误吗？为什么会出现这样的错误？

为什么会出现“一错再错的怪现象”？分析后学生都很有感叹地说：“哦，在计算中要做对一步才能做下一步，步步做对最后的结果才会正确。否则一步错了，前功尽弃！”而有一位学困生总结出了错误的原因，他说：“在计算中不仔细（他所说的不仔细包括看错、写错、算错、忘记了括号、丢掉了顺序等）是犯错的主要原因。上节课老师总结时的两句话挺有道理，‘为什么会犯错误，一是习惯性错误，二是知识性错误。我以后一定要克服习惯性错误，征服知识性错误，步步为营做题目。”

三、穷则思变，培养学生灵活计算的能力

“穷则思，思则变，变则通，通则达”。学生有了良好的计算习惯，那灵活的计算能力也应成为我们课堂关注的焦点。

在一次“分数四则计算”复习课上，我出示了这样一道题：计算“6×+13÷4-19×0.25”（要求在1分钟内完成）。

1分钟后，全班40名学生有4人尚未完成。校对答案发现，有34人答案正确，2人错误。其中34个答案正确的学生所采用的方法与时间见下表。

分析过程后提问：为什么有快慢之分，你从这道题中明白了什么？

我采访了几个学困生，他们的回答是这样的：

生1：我只是看一步做一步，没想到可以变形。

生2：我认为用小数做会比较简单。

生3：我不同意他的意见，我认为用分数可以简便计算，还可以节约时间。

这次复习课给了我很大的鼓励和信心。

四、多思多方法，提高学生解决问题的能力

解决问题是学困生的“瓶颈”所在。在复习阶段，我先引导学生：“在解题时一定要想到用变式（转化）去解决。变式（转化）后一定有很多种方法，方法多了以后，我们的目标也就达成了，这真可谓是‘穷则思变、变则会通、通则即达。”

例如在教学习题时，我改变了“出示例题，一讲到底”的状态，先让学生自主练习，然后讨论评价，让每个学生都能选择最合适自己的方法，

解决问题和图形变换是毕业总复习阶段的两大支柱和难点。我在实践中采用了多思、多变的策略，以求达到解决问题的终极目标。

1.多想出智慧，令学困生解决分数问题时豁然开朗

例如：学校计划改造操场并建造塑胶跑道，甲、乙两个工程队合作10天可以完成。甲、乙两队合作4天后，甲队另有任务，剩下的由乙队单独完成，乙队又干了12天完成工程。如果这项工程由乙队单独做，几天可以完成？

生5（一位平时不爱发言的学生）胆怯地说：老师，我是用假设法做的。我假设总工作量是100，那么甲、乙合作一天完成的工作量就是100÷10=10，甲、乙合作4天的工作量就是10×4=40，剩下100-40=60。那么乙每天能完成的工作量就是60÷12=5，所以这项工作乙单独完成需要100÷5=20天。

我听了生5的假设法，一下子就惊呆了，多妙的思路啊！可见我们平常上课的时候像牵牛一样地牵着学生，将学生束缚得太紧了，其实他们能走得更好、更远、更稳健。

分数、百分数应用题的解题教学有一个显著的特点，就是学生的“对应”思想不牢固，特别是遇到较复杂的分数、百分数应用题中的已知数量和所求问题往往不是直接对应时，需通过分析，找准单位“1”，再借助线段图，这样就容易找到解题的规律。通常我们用到的有“转化法”、“倒推法”、“图示法”和“假设法”，但具体的可根据每一道题的具体分析，选择最恰当的且最合适自己的方法才是最好的方法。只要学生能自然而然地“多去联想”，则解题的智慧必然大有提升。真可谓是“变则通，通则达”。

2.多思多动手，让学困生解几何题时一举成功

在几何图形面积与体积计算的复习教学中，我总结出了“去空求差、合并求和”的八字方针。学困生在初时对“八字方针”理解不透彻。但在贯彻一段时间后，复习课的学习结果让学困生的信心大大增加，而多思多方法的观点也得到认可。

题1：AB和BC均长6厘米，求图1中涂色部分的面积。

图1

题2：图2的六个圆的半径都是1厘米，三角形三个顶点分别是3个圆的圆心。被三角形盖住的圆的面积与三角形外圆的面积的比是多少？

图2

题1是“割补“，阴影部分面积变为大三角形的一半，学生感叹道：“真爽快”；在讨论第2题时，“被三角形盖住的圆的面积”这句话有5位学生不理解，再进行深度思考后，他们也很快感悟到，这题的结果实际上是“4个半圆=2个圆”，所以两者之间的面积比是2∶4，也就是1∶2。

这样，学生在“多思多方法”，“思则变，变则通，通则达”的思想指导下，解题能力大为提升。

在几何图形的认识和体、面积计算时，我在“多思”的基础上还强调多动。实际上，学生“多思多动”是复习几何知识的立足点。我没有让学生机械地去背公式、默写定理，而是让学生尽量地去思考，尽力地去动手动脑。

课一开始，我先展示几何形体的四个元素——点、线、面、体，让学生凭自己的经验找出生活中的“点、线、面、体”，让学生发现在生活中“点、线、面”都是“体”的有机构成部分，初步感知它们之间的联系。在玩“动一动，变个样”这个游戏时，学生很快就发现了“点动成线、线动成面、面动成体”的动态构成规律。学生还发现通过平移，不同的“面”可以形成不同的“體”。如图3所示：

图3

一系列活动，激发了学生探索的欲望，让学生品味了发现的快乐。“思中学”将几何形体特征有机统一起来，动态的过程中学生思路彻底被激活，在深刻理解与掌握几何形体知识的基础上，学生自主建构了合理的几何知识网络。

近几年来的“穷则思、思则变、变则通、通则达”的复习实践大幅度地提高了毕业班学困生的数学学习能力，有效解决了六年级毕业复习中的几大难点，也印证了德国教学设计专家W·彼得森关于解题教学与解题教学设计的观点，即解题教学与解题教学设计必须建立在一定的教学前提之上，影响解题教学的前提条件很多，认知心理学条件和社会文化条件若能在解题教学设计中被予以重点关注，就会形成独特的解题教学风格和奇特的解题教学效果。