对称性在积分教学中的一些应用

方次军

【摘 要】本文重点讨论了对称性在积分计算上的一些解题技巧和使用方法，并结合例子加以应用说明。

【关键词】对称性；定积分；重积分

在积分教学的教授中，经常遇到积分区域具备对称性的题型。若利用积分区域的对称性及被积函数的奇、偶性，则可以简化其计算过程，达到事半功倍的效果。甚至有些题不用计算就可直接判断出其结果。本文重点讨论了利用积分区域的对称性或被积函数的奇，偶性简化（定）重积分计算，然后结合书本和考试中的一些例子加以说明。

一、定积分的对称性

（1）设在对称区间上连续且为奇函数，则有；

（2）设在对称区间上连续且为偶函数，则有。

此结论在计算定积分时会带来很大的方便。对于二重积分，在教学中如下结论：

二、二重积分的对称性

设在区域D上连续，

（1）D关于轴对称时：

当，则；

当；

（2）D关于轴对称时：

当；

当；

（3）D关于直线轴对称时：

；

（4）D关于原点对称时：

当；

当。

以上性质可以推广到三重积分和曲线（面）积分的形式，这里不再累述。

三、例子介绍

例1：计算积分

解：由于被积函数在积分区间上连续且为奇函数，由定积分的对称性1可知结果为0

例2：计算二重积分

区域：；

解：将积分区域分割为四部分：

；

；

；

；

原式：

被积函数在；

被积函数在；

奇函数。

综上，

例3：计算二重积分

区域：

解：积分区域D关于直线轴对称，由二重积分的对称性3，

所以：

原式=

从以上可以看出，对称性在积分的计算中具有非常重要的作用，在教学中，可告诉学生，当看到积分区域对称或函数有奇偶性时，就可以思考能用上述的一些结论，说不定可以起到意想不到的效果。

参考文献：

[1]同济大学数学系编.高等数学[M].高等教育出版社（第六版），2007.

[2]陈云新.对称性在积分中的应用[J].数学理论与应用，2000，10.

[3]徐小湛.对称性在积分计算中的应用[J].高等数学研究，2001，03.

[4]刘磊.称性在重积分计算中的应用[J].湖北工业大学高教研究，2007，12.