析“极限思想”在人教版高中物理必修教材中的应用

沙希文

摘要："授人以鱼，不如授人以渔"，思想和方法的教育有时会比知识本身的传授显得更为重要。本文概括、归纳了极限思想在高一必修教材中的5处应用，望能通过本文使我们学到解决一类问题的方法。

关键词：极限思想；高中物理；教材；应用

中图分类号：G633.7 文献标识码：B 文章编号：1006-5962（2013）06-0028-02

极限思想是微积分和分析数学的基本概念之一，用于描述变量在某一变化过程中的变化趋势。当这种趋势趋于某个值或是某个微小过程时，我们可以近似的将这个变化的量看成不变的量，这种处理问题的思想我们称为极限思想。利用极限思想我们往往能够化动为静，化曲为直，从而得到化难为易，化繁为简的效果。公元3 世纪刘徽创立的割圆术，就是用圆内接正多边形面积的极限是圆面积这一思想来近似计算圆周率π的。并指出"割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，則与圆合体而无所失矣"。新课程注重科学思想方法的渗透，为学生掌握科学的思维方法创造了基本的条件。极限思想的方法在新课程中多处出现，值得重视。

现归纳如下：

1 知识讲解：平均速度和瞬时速度--渗透极限思想（必修一P16）

如果在时间Δt 内物体的位移是Δx ， ΔxΔt表示的是物体在时间间隔Δt内的平均快慢程度，称之为平均速度，即 v=ΔxΔt。平均速度只能粗略地描述运动的快慢，为了使描述精确些，可以把Δt取得小些。物体在从t到t+Δt这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异就小些。 Δt越小，运动的描述就越精确。可以想象，如果Δt非常非常小，就可以认为ΔxΔt表示的是物体在时刻Δt的速度，这个速度叫瞬时速度。

教材中从简单的直线运动入手，先介绍平均速度v=ΔxΔt，再介绍在Δt→0 时， v→v的思想方法，这样处理较清晰地体现了极限思想，但回避了严格的极限概念和计算。

2 实验：用平均速度代表瞬时速度--利用极限思想（必修一P21）

如图，根据D、G两点间的位移Δx和时间Δt ，就可算出纸带在这两点间的平均速度v=ΔxΔt .要求不高时ΔxΔt 可以大致表示E点的瞬时速度。

利用极限思想我们可以以此类推，如果把包含E点的间隔取得更小一些，如下图，

那么，平均速度v=ΔxΔt就会更准确。

教材中安排这个实验的目的，让学生通过具体的事例进一步加深对极限科学思维方法的理解和感悟，同时说明物理中科学思维方法在实际中的应用，学以致用。

3 公式推导：用v―t图像推出匀变速运动位移公式--推广极限思想（必修一P38）

图A表示的是某物体以初速度 做匀变速直线运动的速度―时间图像。图B表示的是把物体的运动分成五个小段，每一段可以看作是以起始时刻的速度作匀速直线运动，因而每两个位置间的位移等于以15t 为底、起始时刻速度为高的细高矩形的面积。矩形面积之和，可以粗略地表示整个运动过程的位移。为了精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，图C中把时间间隔取得小些，这些矩形面积之和，可以较精确的表示整个运动过程的位移。可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常的细，很多很多的小矩形的面积之和就能较准确地代表物体运动的位移了。如图D所示，梯形OABC的面积就代表物体运动的位移。

该梯形的面积是S=12（OC+AB）OA ，即x=12（v0+v）t，把v=v0+at，代入得x=v0t+12at2 。

做匀变速直线运动物体的速度每时每刻都在变化，当把运动过程无限分为若干的小段，对其中的任一小段都可认为是匀速直线运动，其速度是不变的。这种从运动整体中选取某个微小时间作为研究对象，将变量转化为不变量，从而达到解决整体问题的思维方式正是极限思想的精髓。

4 问题与练习：估算照相机的曝光时间--应用极限思想（必修一P45）

有一种"傻瓜"照相机，其光圈（进光孔径）随被摄物体的亮度自动调节，而快门（曝光时间）是固定不变的。为估测某架"傻瓜"照相机的曝光时间，实验者从某砖墙前的高处使一个石子自由落下，拍摄石子在空中的照片如图。由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹。

已知每块砖的平均厚度为6cm，石子起落点距A的高度约为2m。怎样估算这架照相机的曝光时间？

学生的解法如下：

学生的解法当然是正确的，而且非常精确。有的同学认为编者的解法中用AB的长度除以石子经过A点的速度不妥，因为石子在AB间仍在加速，但由于AB的长度非常的小，运动的时间非常的少，故可以近似认为石子在AB间做匀速直线运动，如果拘泥于石子在A、B间速度的差异，解题过程则十分复杂。

新教材上的估算问题往往从实际出发，通过这些栏目的学习，不仅增强学生应用物理知识解决实际问题的能力，做到学以致用，更重要的是传授学生一方法。

通过类比让学生知道求变力做功与求匀变速的位移相似，将弹簧的形变过程分成很多段，每一小段近似认为拉力不变，用恒力代替变力，这是极限思想在求变力做功中的运用。

教材中对用极限的思想方法从新课的讲解、实验、推导、练习、探究等栏目，对教学进行了系统化、结构化构思，这种科学思想方法的传授，也像知识的教学一样有着举足轻重的地位。