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注重规范训练,强化结果达成

2013-04-29李云飞

中学课程辅导·高考版 2013年8期
关键词:等价中点结论

高考临近,经过长时间的复习,同学们的数学成绩已日趋稳定,但在每次的模拟考试中,一个共性问题逐步凸现出来,那就是我们常说的“会而不对,对而不全”.拿到题目,明明会做,但过多的运算错位造成最终答案却是错的,这就是“会而不对”.答案虽然对,但中间有逻辑缺陷或概念错误,或缺少关键步骤导致扣分从而出现“对而不全”.因此我们在备考时千万要注意对每道题目都要规范解答,始终把良好的复习习惯放在每个环节中,力避无意失分.

一、规范符号和语言表示,防止答非所问,表述不当

严密、准确是数学语言的首要特点,各种概念、定义、定理、公式等,都准确地表达一个确定的意思,没有任何歧义.因此我们在作答时要关注数学语言表达的准确性.

例1 函数y=x3-3x的单调递增区间为 .

解析:这个问题很简单,单调递增即y′=3x2-3>0x>1或x<-1.

在答案中就出现了:①x>1或x<-1,②{x|x>1或x<-1},③(-∞,-1)∪(1,+∞)等.殊不知这些都是错误的,递增区间首先是区间,①②的表述就不正确,函数在(-∞,-1)上单调递增,在(1,+∞)也递增,但在(-∞,-1)∪(1,+∞)就不是递增函数,所以正确的答案应该是(-∞,-1)和(1,+∞).

注:高中数学中常见的规范性要求有:向量手写要有箭头;解集、定义域、值域用集合或区间表示;单调区间只能用区间表示;函数问题一般要注明定义域.

二、记全公式和定理要点,防止以偏概全、概念不清

数学中出现的定理和公式的成立是有一定条件的,所以公式和定理不是万能的,不能乱用乱套.只有关注其成立的条件才能确保使用准确、严谨.

例2 已知{an}的前n项和满足log2(Sn+1)=n+1,则an= .

错解:由已知得,Sn=2n+1-1,故an=Sn-Sn-1=2n.

错因:对an和Sn之间的关系概念模糊,没能抓住要点,an=Sn-Sn-1是在n≥2的条件下,忽略了n=1的情况.

正解:an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.=3,n=1,2n,n≥2.

注:在数学公式和定理的学习中,我们必须有如下达成:即用准确的数学语言表述公式与定理的内容;学会分析其条件与结论的内在关系;正确地掌握其证明及推导方法;明确其使用的条件和适用的范围及应用的规律.

三、规范变形的等价性,防止出现漏解和增根

数学的解答过程是通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题的过程.这就要求我们在转化的过程中,注意每次变形的等价性,不改变题中的本质.

例3 关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范围.

错解:令t=3x,即t2+(4+a)t+4=0恒有解,得Δ=(4+a)2-16≥0

∴a≥0或a≤-8

错因:题目中出现了3x及9x,通过换元转化成二次函数型求解是正确的,关键是在转化的过程中没有注意好变量范围的等价性.∵t=3x∴关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解等价于关于t的方程t2+(4+a)t+4=0在(0,+∞)上恒有解.

正解:设3x=t,则t>0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根.

∴Δ≥0x1+x2=-(4+a)>0x1·x2=4>0 即(4+a)2-16≥0a<-4

∴a≥0或a≤-8a<-4 ∴a≤-8.

注:等价转化包括数与数、形与形、数与形之间进行转换,普通语言向数学语言的翻译,函数、方程、不等式之间的等价转化等等.需要注意的地方是:平方时考虑原式的符号;去分母时要保持分母不为0;左右同除时要考虑是否为0的情况;换元时要考虑新元的取值范围.

四、理清因果关系,防止条件和结论颠倒

数学中的推导过程都是由因到果的过程,只有明确了数量间的因果关系,才能构建数学模型,也就找到了切入点,然后才是策略和方法.如果把因果关系颠倒,则得出的不是所需的结果.所以在解题时一定要仔细审题,抓住推导过程中的已知和结论.

例4 如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.

(Ⅰ)求证:EF⊥平面BCE;

(Ⅱ)设线段CD的中点为P,在直线AE上是否存在一点M,使得PM∥平面BCE?若存在,请指出点M的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

解析:(Ⅰ)∵平面ABEF⊥平面ABCD,

BC平面ABCD,BC⊥AB

平面ABEF∩平面ABCD=AB,

又∵EF平面ABEF,∴BC⊥平面ABEFBC⊥EF①

又△AEB为等腰直角三角形,∴AB=AE,

∴∠AEB=45° 又∵∠AEF=45° ∴∠FEB=90°

即EF⊥BE②,由①②得EF⊥平面BCE.

(Ⅱ)过点M作MN∥AB交EB于N,∵AB∥DC

∴MN∥PC 故PCNM为同一平面,

∵PM∥面CBE 面CBE∩面PCMN=CN

∴PM∥NC,因MN∥PC面PCNM为平行四边形

故MN=PC,因P为CD的中点,∴MN=AB2,

即MN为△ABE的中位线,故M为AE的中点.

错因:把题中的因果关系颠倒了,题中所问是否存在一点M,使得PM∥面BCE.即M的位置是因,PM∥面BCE是需要的结果.上面的解题中把PM∥面BCE看成了条件,M的位置看成了结果.

正解:存在点M,当M为线段AE的中点时,PM∥面BCE

取BE的中点N,连接CN,MN,则MN=12AB=PC且MH∥PC

所以PMNC为平行四边形,所以PM∥CN

因为CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,所以PM∥平面BCE

注:“由因到果”,“执果索因”这是两个完全相反的条件和结论,在审题时必须引起重视,在解此类问题是,我们不妨先执果索因来分析,然后由因到果解答.

五、规范解题过程,防止步骤缺失

解答题应答时,考生不仅要提供出最后的结论,还得写出或说出解答过程的主要步骤,提供合理、合法的说明,解答题的考点相对较多,综合性强,难度较高,解答题成绩的评定不仅看最后的结论,还要看其推演和论证过程,分情况判定分数.

例5 函数f(x)=x+4x-m,当x∈[3,4],f(x)>0恒成立,求m的取值范围.

解析:本题出现的函数y=x+4x是大家都很熟悉的函数,它的有关性质都能脱口而出,f(x)=x+4x-m在[3,4]上是递增函数,故f(x)min=f(3)=3+43-m>0m<133.

殊不知在本题最关键的就是f(x)=x+4x-m在[3,4]上是递增函数的说明,这个说明过程是有一定的分值的.应该加上x∈[3,4],f′(x)=1-4x2>0这样才能解题完整.

在数学的学习中,我们往往会有一些常见的结论,这些结论的使用往往会使解题变得快捷和简单,但有些结论在解答题中是必须要进行证明的,少了证明就少了该有的步骤分数.如果难题不会做,可分解成小问题,分步解决,如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等,都能拿分.

(作者:李云飞,南京市燕子矶中学)

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