回归课本 以变取胜

课本既是数学知识和数学思想方法的载体，又是教学的依据，理应成为高考数学试题的源头，因此高考命题注重课本在命题中的作用，充分发挥课本作为试题的根本来源的功能，通过对高考数学试题命题的研究可以发现，每年均有一定数量的试题是以课本习题为素材的变式题，通过变形、延伸与拓展来命制高考数学试题.

例1 （苏教版必修5第48页第7题）在等差数列{an}中，（1）已知a11=20，求S21；（2）已知S11=66，求a6.

解析：（1）S21=（a1+a21）2×21=2a112×21=20×21=420.

（2）因为S11=（a1+a11）2×11=2a62×11=11a6=66，所以a6=6.

通过以上的解答，我们很容易得到结论1：在等差数列{an}中，则an=S2n-12n-1.

变题1 设Sn，Tn分别为等差数列{an}、{bn}的前n项和，若SnTn=3n+42n+3，则a9b8= .

解析：因为数列{an}、{bn}都是等差数列，所以Sn，Tn都具有An2+Bn=n（An+B）的形式，又已知SnTn=3n+42n+3，所以可设Sn=kn（3n+4），Tn=kn（2n+3）（k为非零常数），则有

a9b8=S9-S8T8-T7=9k（3×9+4）-8k（3×8+4）8k（2×8+3）-7k（2×7+3）=55k33k=53.

结论 若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=an+bcn+d（ac≠0），

则ambn=a（2m-1）+bc（2n-1）+d.

变题2 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2nan=4n-12n-1，则S19S9= ，S2nSn= .

解析：S19S9=19a109a5=199·a10a5=199·4×5-12×5-1=（199）2.

设数列{an}的公差为d，首项为a1，由a2nan=4n-12n-1得a1+（2n-1）da1+（n-1）d=4n-12n-1，从而d=2a1，所以S2nSn=2na1+2n（2n-1）d2na1+n（n-1）d2=4.

变题3 设Sn，Tn分别为等差数列{an}、{bn}的前n项和，若anbn=4n-12n+1，则S10T5= .

解析：因为数列{an}、{bn}都是等差数列，所以an，bn都是关于n的一次函数的形式，又anbn=4n-12n+1，所以可设an=k（4n-1），bn=k（2n+1）（k为非零常数），则有S10T5=5（a1+a10）52（b1+b5）=210k35k=6.

变题4 （07年湖北卷）设Sn，Tn分别为等差数列{an}、{bn}的前n项和，若SnTn=7n+45n+3，则使得anbn为整数的正整数n的个数为 .

解析：anbn=S2n-12n-1T2n-12n-1=S2n-1T2n-1=7（2n-1）+45（2n-1）+3=7+12n+1，欲使anbn为整数，则必须n+1为12的约数，又n∈N*，从而n+1=2，3，4，6，12，相应地n=1，2，3，5，11，故正整数n的个数为5个.

例2 （苏教版必修5第62页第10题）设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列.

解析：当q=1时，S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1，因为2S9≠S3+S6，所以S3，S9，S6不成等差数列，这与已知矛盾，故q≠1.由2S9=S3+S6，得2a1（1-q9）1-q=a1（1-q3）1-q+a1（1-q6）1-q，整理得2q6=1+q3，即2a1q7=a1q+a1q4，亦即2a8=a2+a5，所以a2，a8，a5成等差数列.

变题1 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，则q的值为 .

解析：由例2的解答过程可知2q6=1+q3，即（q3-1）（2q3+1）=0，由于q=1时，2S9≠S3+S6，故不满足题意，应舍去，所以q=-342.

变题2 设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：Sn，Sn+6，Sn+3成等差数列.

解析：由例2的解答过程可知2q6=1+q3，等式两边同乘以qn，得2qn+6=qn+qn+6，则

2（1-qn+6）=（1-qn）+（1-qn+3），然后两边同乘以a11-q，得

2a1（1-qn+6）1-q=a1（1-qn）1-q+a1（1-qn+3）1-q，即2Sn+6=Sn+Sn+3，所以Sn，Sn+6，Sn+3成等差数列.

变题3 设Sn是等比数列{an}的前n项和，Sk，Sk+m，Sk+n（k，m，n∈N*）成等差数列，求证：ap，ap+m，ap+n（p∈N*）成等差数列.

解析：由Sk，Sk+m，Sk+n成等差数列可得2qm=1+qn，两边同乘以a1qp-1，得2a1qp+m-1=a1qp-1+a1qp+n-1，即2ap+m=ap+ap+n，所以ap，ap+m，ap+n成等差数列.

高考命题“源于教材，高于教材”，大量题目来源于课本，是对课本基础知识、例题及习题的加工、综合、类比、延伸和拓展的结果.重视教材中的基础知识和基本方法，然后加以引申、变化，做到举一反三，方能赢定高考！

（作者：程志慧，江苏省盱眙中学）