架起桥梁，天堑变通途

数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题），运用数学归纳法证明有关的问题要注意以下几点：（1）“两个步骤，一个结论”缺一不可；（2）第二步中，证明“当n=k+1时结论正确”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k时结论正确”这一条件，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法；（3）在第二步的证明中，“当n=k时结论正确”这一归纳假设起着已知的作用，“当n=k+1时结论正确”则是求证的目标，在这一步中，一般首先要凑出归纳假设里给出的形式，以便于利用归纳假设，然后再凑出当n=k+1时的结论．

其次要注意运用数学归纳法从n=k到n=k+1的证明过程分析，在运用归纳假设时，应该分析由n=k到n=k+1的差异和联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从n=k+1时分离出n=k时的式子，再进行局部调整，也可以考虑二者的结合点，以便于顺利过渡．

知识点一：数学归纳法的原理和步骤

例1 用数学归纳法证明：如果{an}是等比数列，公比为q，则an=a1qn－1对于一切n∈N*都成立．

分析：本题可用数学归纳法证明与正整数有关的命题，其表现形式特别体现了对数学归纳法原理和步骤的理解．

证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1q0=a1等式成立；

（2）假设当n=k等式成立，即ak=a1qk－1，

当n=k+1时，ak+1=akq=a1qk－1·q=a1·q（k+1）－1，这就是说，当n=k+1时等式也成立，由（1）（2）可以判断，等式对一切n∈N*都成立．

点拨：可用数学归纳法来证明的关于自然数n的恒等式，证明时两步骤缺一不可，第一步必须验证，证明当n=k+1时必须用假设n=k时成立的结论证明．

知识点二：数学归纳法中的“起点”问题

例2 对一切n∈N*，试比较2n与n2的大小．

分析：本例可先用归纳推理设出猜想，再用数学归纳法证明猜想，在用数学归纳法证明时，要注意2n与n2的大小关系只有在n≥5时才能稳定下来，即可以寻找起点为n=5．

解析：当n=1时，21>12，即2n>n2；

当n=2时，21=22，即2n=n2；当n=3时，23<32，即2n

当n=4时，24=42，即2n=n2；当n=5时，25>52，即2n>n2；

当n=6时，26>62，即2n>n2；则猜想当n≥5时，2n>n2；下面用数学归纳法证明猜想成立

（1）当n=5时，由上面可以知道猜想成立；

（2）假设当n=k（k≥5）时成立，即2k>k2，那么当n=k+1时，2k+1=2·2k>2k2=k2+k2>k2+（2k+1）=（k+1）2，即当n=k+1时猜想成立．

根据（1）（2）可以知道，当n≥5，2n>n2都成立，所以n=2或4时，2n=n2；当n=3时，2nn2．

点拨：在证明与正整数有关的命题时，主要侧重考查“起点”是否为“1”这个易误点．

知识点三：数学归纳法中的“跨度”问题

例3 用数学归纳法证明：1－12+13－14+…+12n－1－12n=1n+1+1n+2+…+12n．

分析：本题是在与正整数有关的命题中，通常可以改变n在前若干项中的变化规律，在思维定式中设计易错点．

证明：（1）当n=1时，左边=1－12=12，右边=11+1=12，则等式成立；

（2）假设当n=k等式成立，即1－12+13－14+…+12k－1－12k=1k+1+1k+2+…+12k，

则当n=k+1时，

1－12+13－14+…+12k－1－12k+12k+1－12k+2=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1－12k+2=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+（1k+1－12k+2）

=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2=1（k+1）+1+1（k+1）+2+…+1（k+1）+k+12（k+1），

则当n=k+1时等式也成立．

根据（1）和（2），等式对于任意的n∈N*都成立．

点拨：在利用归纳假设时论证n=k+1时等式也成立时，应该注意分析n=k和n=k+1时两个等式的差别；n=k+1时等式左边应该增加两项，右边增加一项，所证等式的右边第一项变为1k+2，因此在证明中，应该把右式中的1k+1应该与－12k+2合并，可以得到所证等式，因而 在论证之前，把n=k+1时等式的左右两边的结构先作分析是有效的．

因此，在从n=k到n=k+1的步骤中，我们应该要很好地架起桥梁，那么天堑一定变通途．

（作者：李秀兰，张家港市第二中学）